Đề của tuần này được đưa ra trong Tuần 3 tháng 8. Xin trích dẫn lại đề:
Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $J$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIB,AIC$ lần lượt cắt $CA,AB$ tại $E,F$ khác $A$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $DA=DJ$.
Cuối cũng cũng nghĩ ra bài này.
Vì $AEIB$ nội tiếp nên $\angle CEI= \angle ABI= \angle CBI$. Kết hợp với $\angle ECI= \angle ICB$ ta suy ra $EC=BC$. Chứng minh tương tự $BC=BF$.
Từ điều kiện trên, ta lược bỏ một số dữ liệu thừa của bài toán để được bài toán mới:
Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $J$. Lấy $E,F$ trên tia $CA,BA$ sao cho $EC=BF=BC$. Tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $BC$ tại $D$. Chứng minh $DA=DJ$.
Điều kiện $EC=BF=BC$ khiến ta liên tưởng tới bổ đề sau:
Bổ đề 1. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$. $M,N$ lần lượt là đối xứng của $B,C$ qua $IC,IB$. $X$ là tâm đường tròn nogaij tiếp $\triangle AMN$. Khi đó
i) $MN \perp OI$.
ii) Bán kính đường tròn ngoại tiếp $\triangle AMN$ bằng $OI$.
iii) $A,X,I,O$ cùng thuộc một đường tròn.
Chứng minh bổ đề có thể tham khảo tại đây.
Điều kiện cần chứng minh $DA=DJ$ khiến ta liên tưởng tới bổ đề sau:
Bổ đề 2. Cho tam giác $ABC$ có tâm nội tiếp $I$, tâm ngoại tiếp $O$, tâm bàng tiếp ứng với đỉnh $A$ là $I_a$. Đường thẳng qua $I_a$ vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $K$. Chứng minh $KI_a=KA$.
Quay lại bài toán, từ $J$ kẻ đường vuông góc với $OI$ cắt $BC$ tại $D'$. $X$ là tâm của $(AEF)$, $T$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $(O)$. Ta suy ra $T$ cung là điểm chính giữa cung $FE$ của $(X)$. Ta cũng có $TA \perp IA$.
Khi đó theo Bổ đề 1 iii) thì $$\angle D'JI = 90^{\circ}- \angle OIJ=90^{\circ}- \angle AXO =\angle XAT.$$
Theo Bổ đề 2 ta có $D'J=D'A$ nên $\angle D'AJ= \angle D'JA= \angle XAT$. Kết hợp với $\angle TAJ=90^{\circ}$ ta suy ra $\angle XAD'=90^{\circ}$ hay $D'A$ là tiếp tuyến tại $A$ của $(X)$. Do đó $D \equiv D'$. Như vậy $DA=DJ$.
May mà có đọc được bổ đề 1 trong tài liệu này của thầy Hùng.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nesbit: 18-04-2016 - 22:24