Câu 5. Hỏi có tồn tại hay không các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $2a \ge 5c \ge 4b$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n \ge 3$ và đa thức hệ số nguyên $P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 3}x^{3} + ax^{2} - bx + c$ có $n$ nghiệm phân biệt.
giả sử tồn tại $a,b,c,n$ nguyên dương thỏa đề
gọi $x_1,x_2,...,x_n$ là các nghiệm nguyên của $\mathcal{P}_n(x)$ ta có
$\mathcal{P}_n(x)=a_0(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$
tức
$a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 3}x^{3} + ax^{2} - bx + c=a_0(x-x_1)(x-x_2)...(x-x_n)$
đồng nhất hệ số $x^2,x,x^0$ ta có
$\left\{\begin{matrix} (-1)^nx_1x_2...x_n=\frac{c}{a_0}\\ (-1)^{n-1}\sum_{j=1}^{n}\prod_{i\neq j}x_i=\frac{-b}{a_0} \\ (-1)^{n-2}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{n}\prod_{i\neq j,i\neq k}x_i=\frac{a}{a_0} \end{matrix}\right.$
đặt $t=x_1x_2...x_n$
$\bullet $ xét với $a_0>0$
xét với $n$ chẵn ta có
$\left\{\begin{matrix} t=\frac{c}{a_0}\\\sum \frac{t}{x_i}=\frac{b}{a_0} \\ \sum \frac{t}{x_ix_j}=\frac{a}{a_0} \end{matrix}\right.\Rightarrow t>0$
ta có
$2a\ge 5c\ge 4b$
$\Leftrightarrow 2\sum \frac{t}{x_ix_j}\geq 5t\geq 4\sum \frac{t}{x_i}$
$\Leftrightarrow 2\sum \frac{1}{x_ix_j}\geq 5\geq 4\sum \frac{1}{x_i}$
$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} \sum \frac{1}{x_ix_j}\geq \frac{5}{2}\\\sum \frac{1}{x_i}\le \frac{5}{4} \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \frac{25}{16}\geq \left ( \sum \frac{1}{x_i} \right )^2\geq 2\sum \frac{1}{x_ix_j}\geq 5$
điều trên vô lí
xét với $n$ lẻ tương tự thì $-t>0$ và ... ta cũng có điều vô lí
$\bullet $ xét với $a_0<0$
ta có nhận xét khi xét trường hợp $\left ( a_0<0,n\ \text{chẵn} \right )$ giống với trường hợp $\left ( a_0>0,n\ \text{lẻ} \right )$ nên cũng có điều vô lí
tương tự khi xét với $\left ( a_0<0,n\ \text{lẻ} \right )$ cũng có mâu thuẫn
$\boxed{\text{Vậy không tồn tại}\ a,b,c\ \text{thỏa đề}}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 08-05-2016 - 17:54