Bài toán 2: Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} &6x^{4}-(x^{3}-x)y^{2}-(y+12)x^{2}=-6 \\ &5x^{4}-(x^{2}-1)^{2}y^{2}-11x^{2}=-5 \end{matrix}\right.$
(đây là bài của bạn PlanByFESN)
(Ghi chú lần sau khi đề xuất bài toán nào các bạn hãy đưa vào một bài đăng khác để tiện theo dõi)
Marathon Phương trình và hệ phương trình VMF
#301
Đã gửi 22-01-2017 - 16:28
#302
Đã gửi 23-02-2017 - 20:17
Ta có: $PT\Leftrightarrow (2x-3)^{3}+2x-3=3x-5+\sqrt[3]{3x-5}\Leftrightarrow 2x-3=\sqrt[3]{3x-5}\Leftrightarrow 8x^{3}-36x^{2}+51x-22=0\Leftrightarrow x=2;x=\frac{5-\sqrt{3}}{4};x=\frac{5+\sqrt{3}}{4}$
Bài toán 4: Giải phương trình sau:$\sqrt{3x^{2}-1}+\sqrt{x^{2}-x}-x\sqrt{x^{2}+1}=\frac{1}{2\sqrt{2}}(7x^{2}-x+4)$
#303
Đã gửi 15-04-2017 - 09:12
Bài toán:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=|x-y| \\ 3^{2+x}+3^{2+y}=30 \end{matrix}\right..$
- NTA1907, thinhnarutop, HoangKhanh2002 và 2 người khác yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#304
Đã gửi 17-04-2017 - 18:01
Bài toán:
Giải hệ phương trình sau:
$\left\{\begin{matrix}x^2+y^2=|x-y| \\ 3^{2+x}+3^{2+y}=30 \end{matrix}\right..$
$3^{2+x}+3^{2+y}=30 \Leftrightarrow 3^x + 3^y = \dfrac{10}{3}$
Xét $x \ge 0;y \ge 0$ ta có: Không tồn tại $3^x + 3^y$ có dạng phân số (Loại)
Xét $x \le 0;y \le 0$ ta có: $3^x + 3^y \le 2 < \dfrac{10}{3}$ (loại)
$\Rightarrow$ $x,y$ là $2$ số trái dấu
Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge 0;y \le 0$. Đặt $x=a \ge 0 ; -y=b \ge 0$ ta có:
$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=a+b \\ 3^{2+a}+3^{2-b}=30 \end{matrix}\right.$
$a^2+b^2=a+b \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} \Rightarrow 2 \ge a+b \Rightarrow 2-b \ge a$
$ \Rightarrow 30=3^{2+a}+3^{2-b} \ge 3^{2+a}+3^a = 10.3^a$
$ \Rightarrow 1 \ge a$ $(1)$
Và $a^2+b^2=a+b \Rightarrow a(a-1)+b(b-1)=0$
Vì $a(a-1) \le 0 \Rightarrow b(b-1) \ge 0 \Rightarrow b \ge 1$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow 3^{2+a}+3^{2-b} \le 3^3 + 3 = 30$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=1;b=1$ Hay $x=1;y=-1$
Vậy $(x;y)=\begin{Bmatrix}(1;-1);(-1;1)\end{Bmatrix}$
P/s: Lần đầu giải bài trên VMF's Marathon Olympiad
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 17-04-2017 - 18:02
- Baoriven, thinhnarutop, Nghiapnh1002 và 1 người khác yêu thích
#305
Đã gửi 17-04-2017 - 21:52
$3^{2+x}+3^{2+y}=30 \Leftrightarrow 3^x + 3^y = \dfrac{10}{3}$
Xét $x \ge 0;y \ge 0$ ta có: Không tồn tại $3^x + 3^y$ có dạng phân số (Loại)
Xét $x \le 0;y \le 0$ ta có: $3^x + 3^y \le 2 < \dfrac{10}{3}$ (loại)
$\Rightarrow$ $x,y$ là $2$ số trái dấu
Không mất tính tổng quát giả sử $x \ge 0;y \le 0$. Đặt $x=a \ge 0 ; -y=b \ge 0$ ta có:
$\left\{\begin{matrix}a^2+b^2=a+b \\ 3^{2+a}+3^{2-b}=30 \end{matrix}\right.$
$a^2+b^2=a+b \ge \dfrac{(a+b)^2}{2} \Rightarrow 2 \ge a+b \Rightarrow 2-b \ge a$
$ \Rightarrow 30=3^{2+a}+3^{2-b} \ge 3^{2+a}+3^a = 10.3^a$
$ \Rightarrow 1 \ge a$ $(1)$
Và $a^2+b^2=a+b \Rightarrow a(a-1)+b(b-1)=0$
Vì $a(a-1) \le 0 \Rightarrow b(b-1) \ge 0 \Rightarrow b \ge 1$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ $ \Rightarrow 3^{2+a}+3^{2-b} \le 3^3 + 3 = 30$
Dấu bằng xảy ra khi: $a=1;b=1$ Hay $x=1;y=-1$
Vậy $(x;y)=\begin{Bmatrix}(1;-1);(-1;1)\end{Bmatrix}$
P/s: Lần đầu giải bài trên VMF's Marathon Olympiad
Không thấy (1) và (2) ở đâu (xem code thì thấy nhưng phần hiển thị thì không).
Mình đã chỉ ra được $x,y \in [-1,1].$ Và chính nó đã giam cầm suy nghĩ của mình; để rồi mình không nhận ra mấu chốt- chính là điều sau
Và $a^2+b^2=a+b \Rightarrow a(a-1)+b(b-1)=0$
Vì $a(a-1) \le 0 \Rightarrow b(b-1) \ge 0 \Rightarrow b \ge 1$ $(2)$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 17-04-2017 - 21:55
- Mr Cooper và monkeyking thích
Đời người là một hành trình...
#306
Đã gửi 17-04-2017 - 22:05
Anh có bổ sung như thế này nhe Mr Cooper
Em có nhầm lẫn xét $x,y\geq 0$ với $x,y$ nguyên dương nên vội kết luận $3^x+3^y$ không tồn tại dưới dạng phân số.
Vẫn có $x,y\geq 0$ mà thỏa em nhé.
Do đó để phù hợp với cách giải của em , anh sẽ thêm vào đề tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn.
P/S: Đây là một đề anh tự nghĩ ra nên không có đáp án. Cảm ơn đóng góp của Mr Cooper.
- tritanngo99, thinhnarutop, Mr Cooper và 1 người khác yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#307
Đã gửi 19-04-2017 - 08:41
Anh có bổ sung như thế này nhe Mr Cooper
Em có nhầm lẫn xét $x,y\geq 0$ với $x,y$ nguyên dương nên vội kết luận $3^x+3^y$ không tồn tại dưới dạng phân số.
Vẫn có $x,y\geq 0$ mà thỏa em nhé.
Do đó để phù hợp với cách giải của em , anh sẽ thêm vào đề tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn.
P/S: Đây là một đề anh tự nghĩ ra nên không có đáp án. Cảm ơn đóng góp của Mr Cooper.
Cho x, y\in \mathbb{Z} thì có dẫn đến bài toán tầm thường hay không? Bằng các đánh giá, ta có thể chỉ ra $x, y\in [-1,1]$. Khi đó, việc tìm nghiệm nguyên trở nên đơn giản bằng phương pháp "thử sai".
- Baoriven và Nghiapnh1002 thích
Đời người là một hành trình...
#308
Đã gửi 23-04-2017 - 11:22
32+x+32+y=30⇔3x+3y=10332+x+32+y=30⇔3x+3y=103
Xét x≥0;y≥0x≥0;y≥0 ta có: Không tồn tại 3x+3y3x+3y có dạng phân số (Loại)
Xét x≤0;y≤0x≤0;y≤0 ta có: 3x+3y≤2<1033x+3y≤2<103 (loại)
⇒⇒ x,yx,y là 22 số trái dấu
Không mất tính tổng quát giả sử x≥0;y≤0x≥0;y≤0. Đặt x=a≥0;−y=b≥0x=a≥0;−y=b≥0 ta có:
{a2+b2=a+b32+a+32−b=30{a2+b2=a+b32+a+32−b=30
a2+b2=a+b≥(a+b)22⇒2≥a+b⇒2−b≥aa2+b2=a+b≥(a+b)22⇒2≥a+b⇒2−b≥a
⇒30=32+a+32−b≥32+a+3a=10.3a⇒30=32+a+32−b≥32+a+3a=10.3a
⇒1≥a⇒1≥a (1)(1)
Và a2+b2=a+b⇒a(a−1)+b(b−1)=0a2+b2=a+b⇒a(a−1)+b(b−1)=0
Vì a(a−1)≤0⇒b(b−1)≥0⇒b≥1a(a−1)≤0⇒b(b−1)≥0⇒b≥1 (2)(2)
Từ (1)(1) và (2)(2) ⇒32+a+32−b≤33+3=30⇒32+a+32−b≤33+3=30
Dấu bằng xảy ra khi: a=1;b=1a=1;b=1 Hay x=1;y=−1x=1;y=−1
Vậy (x;y)={(1;−1);(−1;1)}(x;y)={(1;−1);(−1;1)}
Nhớ LIKE cho mình nhé bạn
#309
Đã gửi 26-04-2017 - 21:16
Anh có bổ sung như thế này nhe Mr Cooper
Em có nhầm lẫn xét $x,y\geq 0$ với $x,y$ nguyên dương nên vội kết luận $3^x+3^y$ không tồn tại dưới dạng phân số.
Vẫn có $x,y\geq 0$ mà thỏa em nhé.
Do đó để phù hợp với cách giải của em , anh sẽ thêm vào đề tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn.
P/S: Đây là một đề anh tự nghĩ ra nên không có đáp án. Cảm ơn đóng góp của Mr Cooper.
Phần mình gạch chân, mình nghĩ thực ra không có nghiệm vì từ phương trình$30= 3^{2+x}+3^{2+y}\geq 3^{2}+3^{2}= 162$ vô nghiệm nên bài toán chắc là giải quyết được bài toán trên tập số thực rồi. Phải không nhờ? :v
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 26-04-2017 - 21:25
- Mr Cooper yêu thích
$\mathbb{VTL}$
#310
Đã gửi 27-04-2017 - 01:00
$30= ....\geq 3^{2}+3^{2}= 162$
Là đây!
$3^{2}+3^{2}= 162$????
Đời người là một hành trình...
#311
Đã gửi 27-04-2017 - 10:14
Là đây!
$3^{2}+3^{2}= 162$????
Tính nhầm rồi @@, mình nhầm $3^{2}$ thành $9^{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 27-04-2017 - 10:14
$\mathbb{VTL}$
#312
Đã gửi 28-04-2017 - 19:51
Giải phương trình:
$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$
- Dark Magician 2k2 yêu thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#313
Đã gửi 28-04-2017 - 22:41
Giải phương trình:
$x^2+x-1=x.e^{x^2-1}+(x^2-1).e^x$
Lộ liệu quá nhỉ !
Cách 1:
\[x \left(e^{x^2-1}-1\right)= -(x^2-1) \left(e^{x}-1\right).\]
Dễ thấy $x=0, $\pm 1$ là các nghiệm của phương trình.
Ta chứng minh phương trình không có nghiệm nào khác (ngoài $0$).
Với $x\neq 0, \pm 1$, phương trình trở thành
\[\frac{e^{x^2-1}-1}{x^2-1}= -\frac{e^{x}-1}{x}.\]
Áp dụng định lý Lagrange cho hàm $f(t)=e^t$ trên hai khoảng: khoảng thứ nhất có 2 điểm đầu mút là $0$ và $x^2-1$ và khoảng thứ hai có 2 điểm đầu mút là $0$ và $x$. Tồn tại $a, b$ sao cho
\[\frac{e^{x^2-1}-1}{x^2-1}=f'(a)=e^a=-e^b=-f'(b)= -\frac{e^{x}-1}{x}.\]
Điều này vô lý.
Suy ra phương trình chỉ có các nghiệm $x=0, \pm 1.$
Cách 2:
Tồn tại $a, b$ sao cho $e^{x^2-1}-1=(x^2-1)e^a, e^x-1=x e^b.$
Do đó phương trình
\[x \left(e^{x^2-1}-1\right)= -(x^2-1) \left(e^{x}-1\right).\]
được viết lại
$x(x^2-1)e^a=-(x^2-1)xe^b.$
Suy ra $x(x^2-1)=0.$
Ta kiểm lại, phương trình chỉ có các nghiệm $x=0, \pm 1.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 28-04-2017 - 22:46
- Baoriven và Nghiapnh1002 thích
Đời người là một hành trình...
#315
Đã gửi 29-04-2017 - 11:08
Giải phương trình:
$\left\{\begin{matrix}10(y-x)=x^4+9(1) \\ \sqrt{y}+\sqrt{y-2x}=\sqrt{2}(2) \end{matrix}\right.$
Ta có: (2) $\Leftrightarrow 2(y-x)+2\sqrt{y(y-2x)}=2 $
Đặt x-y=z thay vào phương trình (1) ta có:
$-10z=(2z+1)^{2}+9 $
Thay vào (2) giải 2 trường hợp rồi thử lại nghiệm là xong.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 29-04-2017 - 11:35
- manhhung2013 yêu thích
$\mathbb{VTL}$
#316
Đã gửi 29-04-2017 - 14:57
Một lời giải khác.
Xét: $\sqrt{y}-\sqrt{y-2x}=\sqrt{\lambda}$.
$\sqrt{y}=\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2$.
$\sqrt{y-2x}=\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2$.
$y=(\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2$.
$y-2x=(\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2)^2$.
$x=\sqrt{\frac{\lambda}2}$.
$10((\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2-\sqrt{\frac{\lambda}2})=(\sqrt{\frac{\lambda}2})^4+9$.
Từ đó ta được: ${\lambda}^2-10 {\lambda}+16=0 \implies \lambda =8; 2$.
Suy ra: $x=2,y=\frac 92$ hoặc $x=1,y=2$.
- Nghiapnh1002, TrBaoChis và Drago thích
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
#317
Đã gửi 30-04-2017 - 10:41
Ta có: (2) $\Leftrightarrow 2(y-x)+2\sqrt{y(y-2x)}=2 $
$\Leftrightarrow (y-x)+\sqrt{y(y-2x)}=1 $$\Leftrightarrow \sqrt{y(y-2x)}=x-y+1 $$\Rightarrow y^{2}-2xy=x^{2}+y^{2}+1-2xy+2x-2y $$\Leftrightarrow x^{2}+1+2(x-y)=0 $$\Rightarrow x^{4}=(2(x-y)+1)^{2}.$Đặt x-y=z thay vào phương trình (1) ta có:
$-10z=(2z+1)^{2}+9 $
$\Leftrightarrow <=>2z^{2}+7z+5=0 $$\Leftrightarrow z=-1;z=-\frac{5}{2} $$\Leftrightarrow x-y=-1;x-y=-\frac{5}{2}$Thay vào (2) giải 2 trường hợp rồi thử lại nghiệm là xong.
Một lời giải khác.
Xét: $\sqrt{y}-\sqrt{y-2x}=\sqrt{\lambda}$.
$\sqrt{y}=\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2$.
$\sqrt{y-2x}=\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2$.
$y=(\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2$.
$y-2x=(\frac{\sqrt {2}-\sqrt{\lambda}}2)^2$.
$x=\sqrt{\frac{\lambda}2}$.
$10((\frac{\sqrt {2}+\sqrt{\lambda}}2)^2-\sqrt{\frac{\lambda}2})=(\sqrt{\frac{\lambda}2})^4+9$.
Từ đó ta được: ${\lambda}^2-10 {\lambda}+16=0 \implies \lambda =8; 2$.
Suy ra: $x=2,y=\frac 92$ hoặc $x=1,y=2$.
Hai lời giải này có vấn đề gì khi tập nghiệm của hệ không chứa $(-1,0)$?
- Nghiapnh1002 yêu thích
Đời người là một hành trình...
#318
Đã gửi 30-04-2017 - 11:39
Hai lời giải này có vấn đề gì khi tập nghiệm của hệ không chứa $(-1,0)$?
Ta có: (2) $\Leftrightarrow 2(y-x)+2\sqrt{y(y-2x)}=2 $
$\Leftrightarrow (y-x)+\sqrt{y(y-2x)}=1 $$\Leftrightarrow \sqrt{y(y-2x)}=x-y+1 $$\Rightarrow y^{2}-2xy=x^{2}+y^{2}+1-2xy+2x-2y $$\Leftrightarrow x^{2}+1+2(x-y)=0 $$\Rightarrow x^{4}=(2(x-y)+1)^{2}.$Đặt x-y=z thay vào phương trình (1) ta có:
$-10z=(2z+1)^{2}+9 $
$\Leftrightarrow <=>2z^{2}+7z+5=0 $$\Leftrightarrow z=-1;z=-\frac{5}{2} $$\Leftrightarrow x-y=-1;x-y=-\frac{5}{2}$Thay vào (2) giải 2 trường hợp rồi thử lại nghiệm là xong.
TH: x-y=-1 thay vào (2) giải được bộ (-1;0) mà bạn An Infinitesimal
$\mathbb{VTL}$
#319
Đã gửi 30-04-2017 - 18:08
TH: x-y=-1 thay vào (2) giải được bộ (-1;0) mà bạn An Infinitesimal
Vậy cần soi thêm lời giải của Baoviren.
Đời người là một hành trình...
#320
Đã gửi 30-04-2017 - 19:43
Một lời giải khác.
Xét: $\sqrt{y}-\sqrt{y-2x}=\sqrt{\lambda}$.
Điều này chỉ "có nghĩa" khi $y\ge y-2x\ge 0$; do đó $x\ge 0.$ Do đó, lời giải trên chưa xét đến trường hợp $x<0.$
Hơn thế, mình kiểm tra được $x\in [-1,1].$ Do đó, hệ phương trình không thể có nghiệm dạng $(2,y).$
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mình thử vài cách thô thiển.
Hướng 1: Rút $y$ từ phương trình thứ nhất và thay vào phương trình thứ hai.
Vì $10y=x^4+10x+9$ nên
\[\sqrt{x^4+10x+9}+ \sqrt{x^4-10x+9}=2\sqrt{5}.\]
\[\iff \left(\sqrt{x^4+10x+9}-(x+1)\sqrt{5}\right)+ \left(\sqrt{x^4-10x+9}-(-x+1)\sqrt{5}\right)=0.\]
Ngoài hai cách bình phương thô thiển, ta có thể tiếp cận bằng cách nhân lượng liên hợp.
Ta có thể kiểm tra $1$ và $-1$ là các nghiệm của PT.
Với $x\neq 1$ và $x\neq -1,$ ta có phương trình trên tương đương
\[\frac{x^4 - 5x^2 + 4}{\sqrt{x^4+10x+9}+(x+1)\sqrt{5}}+\frac{x^4 - 5x^2 + 4}{\sqrt{x^4-10x+9}+(-x+1)\sqrt{5}}=0.\]
\[\iff (x^4 - 5x^2 + 4) \left(\frac{1}{\sqrt{x^4+10x+9}+(x+1)\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{x^4-10x+9}+(-x+1)\sqrt{5}}\right)=0.\]
Vì $x\in (-1,1)$ nên $\frac{1}{\sqrt{x^4+10x+9}+(x+1)\sqrt{5}}+\frac{1}{\sqrt{x^4-10x+9}+(-x+1)\sqrt{5}}>0.$
Hướng 2: Rút $y$ từ phương trình thứ hai và thay vào phương trình thứ nhất.
Từ $\sqrt{y-2x}=\sqrt{2}-\sqrt{y}$, suy ra $\sqrt{2y}=x+1\ge 0.$
Do đó $y=\frac{x^2+2x+1}{2}.$
Thay vào phương trình thứ nhất, ta có
\[5(x^2+1)=x^4+9.\]
Do đó $x=\pm 1, x=\pm 2.$
Suy ra $(1,2)$ và $(-1,0)$ là tất cả các nghiệm của hệ PT.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 03-05-2017 - 22:14
- Element hero Neos, NTA1907 và Nghiapnh1002 thích
Đời người là một hành trình...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh