Chủ đề này có 375 trả lời

[HoangKhanh2002]

Bài 203: GPT $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}=\frac{2}{1+\sqrt{x}}$

Sửa lại lời giải như sau nhé (Cảm ơn tiền bối An Infinitesimal)

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ ta có: $\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}} \right )^2\leqslant 2\left ( \dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{3x+1} \right )$

Mà: $\left ( \dfrac{2}{\sqrt{x}+1} \right )^2-2\left ( \dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{3x+1} \right)=\dfrac{4(\sqrt{x}-1)^4}{(\sqrt{x}+1)^2(x+3)(3x+1)}\geqslant 0$

Do đó: $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\leqslant \frac{2}{1+\sqrt{x}}$

Đẳng thức xảy ra: $\iff x=1$

Thử lại thấy thoả mãn

Hồi trưa vội đi học nên sai. Lỗi sai quá lớn luôn!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 18-06-2017 - 17:46

[An Infinitesimal]

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\geqslant \dfrac{1}{\dfrac{x+3+4}{4}}+\dfrac{1}{\dfrac{3x+1+4}{4}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{x+7}{8}}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3x+5}{8}}\\\geqslant \dfrac{\left ( \sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right )^2}{\dfrac{4x+12}{8}}=\dfrac{2}{\dfrac{x+3}{2}}$

Suy ra: $\dfrac{x+3}{2}\leqslant \sqrt{x}+1 \iff (\sqrt{x}-1)^2\leqslant 0 \iff x=1$

Thử lại thấy thoả mãn

 

Hình lời giải có một lỗi và lỗi đó đã hại cái lời giải hay!

[Hoang Dinh Nhat]

Áp dụng BĐT $Cauchy-Schwarz$ và $AM-GM$ ta có:

$\dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}\geqslant \dfrac{1}{\dfrac{x+3+4}{4}}+\dfrac{1}{\dfrac{3x+1+4}{4}}=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{x+7}{8}}+\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{3x+5}{8}}\\\geqslant \dfrac{\left ( \sqrt{\dfrac{1}{2}}+\sqrt{\dfrac{1}{2}} \right )^2}{\dfrac{4x+12}{8}}=\dfrac{2}{\dfrac{x+3}{2}}$

Suy ra: $\dfrac{x+3}{2}\leqslant \sqrt{x}+1 \iff (\sqrt{x}-1)^2\leqslant 0 \iff x=1$

Thử lại thấy thoả mãn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 18-06-2017 - 15:49

[HoangKhanh2002]

Hình lời giải có một lỗi và lỗi đó đã hại cái lời giải hay!

 

 

Đã sửa

$\boxed{\text{Bài toán 204}}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-9x-y^2-9y=0\\ 2x^3-20x-x^2y-20y=0 \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 18-06-2017 - 16:41

[Duy Thai2002]

Sửa lại lời giải như sau nhé (Cảm ơn tiền bối An Infinitesimal)

Áp dụng BĐT $AM-GM$ ta có: $\left ( \dfrac{1}{\sqrt{x+3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}} \right )^2\leqslant 2\left ( \dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{3x+1} \right )$

Mà: $\left ( \dfrac{2}{\sqrt{x}+1} \right )^2-2\left ( \dfrac{1}{x+3}+\dfrac{1}{3x+1} \right)=\dfrac{4(\sqrt{x}-1)^4}{(\sqrt{x}+1)^2(x+3)(3x+1)}\geqslant 0$

Do đó: $\frac{1}{\sqrt{x+3}}+\frac{1}{\sqrt{3x+1}}\leqslant \frac{2}{1+\sqrt{x}}$

Đẳng thức xảy ra: $\iff x=1$

Thử lại thấy thoả mãn

 

Không phải AM-GM mà Cauchy-Schwarz

[trambau]

Đã sửa

$\boxed{\text{Bài toán 204}}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-9x-y^2-9y=0\\ 2x^3-20x-x^2y-20y=0 \end{matrix}\right.$

Bài của Khánh sử dụng phương pháp thế, đây là 1 hệ rất quen thuộc của những đề luyện thi đại học

Từ phương trình $(2)$ $\Rightarrow y=\frac{2x^2-20x}{x^2+20}$ thế vào phương trình $(1)$ ta được 

$3x^2-9x+\frac{x(2x^3-20x)}{x^2+20}-(\frac{2x^3-20x}{x^2+20})^2-\frac{9(2x^3-20x)}{x^2+20}=0$

$\Leftrightarrow \frac{x(x-10)(x-2)(x^2-15x+20)}{(x^2+20)^2}=0$

giải phương trình tìm $x$ có vẻ bài này có 1 số nghiệm lẻ

[trambau]

Bài toán 205: Giải hệ phương trình 

 $\left\{\begin{matrix} x^{2}\sqrt{2(x-3)}+(x+1)(y-1)=\sqrt[3]{3x-\frac{1}{2}}\\ \sqrt{x^{2}+x+1}-\sqrt{y^{2}-y+1}=\sqrt{x^{2}-xy+y^{2}} \end{matrix}\right.$

[Duy Thai2002]

Bài 205:https://diendantoanh...sqrt33x-frac12/

[trambau]

Bài 205:https://diendantoanh...sqrt33x-frac12/

bài này dùng BĐT mincopski để đi đến bước đó, nhưng mà ít người giải được, mục đích mình đăng lại là để mọi người tìm thêm cách khác

[HoangKhanh2002]

Bài của Khánh sử dụng phương pháp thế, đây là 1 hệ rất quen thuộc của những đề luyện thi đại học

Từ phương trình $(2)$ $\Rightarrow y=\frac{2x^2-20x}{x^2+20}$ thế vào phương trình $(1)$ ta được 

$3x^2-9x+\frac{x(2x^3-20x)}{x^2+20}-(\frac{2x^3-20x}{x^2+20})^2-\frac{9(2x^3-20x)}{x^2+20}=0$

$\Leftrightarrow \frac{x(x-10)(x-2)(x^2-15x+20)}{(x^2+20)^2}=0$

giải phương trình tìm $x$ có vẻ bài này có 1 số nghiệm lẻ

Giải pháp này chưa hiệu quả lắm!!!

Nó sẽ không khả thi lắm trong 1 số trường hợp

Để chứng tỏ điều đó, mời chị giải 1 bài toán cùng dạng

$\boxed{\text{Bài 206}}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 4x^3+3xy^2=7y\\ y^3+6x^2y=7 \end{matrix}\right.$

[Baoriven]

Lời giải bài 206:

Trước hết, từ PT $(2)$ ta có: $y> 0$ suy ra $x> 0$.

Trừ theo vế $2$ PT, ta được: $4x^3-6x^2y+3xy^2-y^3=7(y-1)$.

Xét $y\geq 1$, thì $4x^3-6x^2y+3xy^2-y^3\geq 0\Rightarrow x\geq y$.

Ta có: $7y=4x^3+3xy^2\geq 7y^3$.

Suy ra: $y\leq 1$.

Do đó: $y=1$ nên $x=1$.

Tương tự TH còn lại.

[didifulls]

Lời giải bài 206:

Trước hết, từ PT $(2)$ ta có: $y> 0$ suy ra $x> 0$.

Trừ theo vế $2$ PT, ta được: $4x^3-6x^2y+3xy^2-y^3=7(y-1)$.

Xét $y\geq 1$, thì $4x^3-6x^2y+3xy^2-y^3\geq 0\Rightarrow x\geq y$.

Ta có: $7y=4x^3+3xy^2\geq 7y^3$.

Suy ra: $y\leq 1$.

Do đó: $y=1$ nên $x=1$.

Tương tự TH còn lại.

Lời giải rất hay Nhưng bạn có thể làm nốt trường hợp còn lại đk không :> Thấy khó hiểu đoạn TH học lại :3

[An Infinitesimal]

$\boxed{\text{Bài 206}}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 4x^3+3xy^2=7y\\ y^3+6x^2y=7 \end{matrix}\right.$

Để "anh" không hỏi vì sao "e" làm thế, mình  xử lý theo tư duy hệ đẳng cấp này theo lối tư duy 'cồng kềnh':

\[(4x^3+3xy^2)^3. 7^2=(7y)^3 (y^3+6x^2y)^2.\]

 

\[\iff (4x^3+3xy^2)^3=7y^3 (y^3+6x^2y)^2.\]

Hiển nhiên $y\neq 0,$ đặt $t=\frac{x}{y}$, phương trình trên được viết lại

\[\left(4t^3+3t\right)^3=7(6t^2+1)^2.\]

 

Đặt $f(t)=\left(4t^3+3t\right)^3-7(6t^2+1)^2.$

Không nhẹ nhàng lắm để chứng minh PT trên có nghiệm duy nhất $t=1$.

 

Thử tiếp cận hướng khác để xử lý hệ này!

Có vẻ $x$ và $y$ có vai trò tương tự nhau.

 

Đặt $ u=x+y, v=x-y.$ Ta có hệ sau

\[\begin{cases} 3u^2+ 8uv + v^2=72u,\\ (u + v)^2(u + 3v)=160u.\end{cases}\]

 

Chưa thành công!

 

 

Hướng tiếp cận 3: Tính toán khá nhiều nhưng ý tưởng sáng rõ.

 

$PT1':= PT1.(x^2+20)-y.PT2$;

$PT2'=q.PT2+(x^2+20).PT1'$, trong đó $q=- x^3 - 9x^2 + 40x - 180$.

 

PT2' chính là 

\[x^2(x - 2)(x - 10)(x^2 - 15x + 20)=0.\]

 

Dường như phức tạp không cần thiết.

 

 

Đã sửa

$\boxed{\text{Bài toán 204}}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-y^2=9x+9y\\ 2x^3-x^2y=20(x+y) \end{matrix}\right.$

 

Tiếp cận hướng đẳng cấp cũng khá phức tạp.

[HoangKhanh2002]

Tiếp cận hướng đẳng cấp cũng khá phức tạp.

Đây là hướng của em. Cách này đã được anh Bùi Thế Việt nghĩ ra....

 

Đã sửa

$\boxed{\text{Bài toán 204}}$ Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 3x^2+xy-9x-y^2-9y=0\\ 2x^3-20x-x^2y-20y=0 \end{matrix}\right.$

Bằng máy tính thử vài giá trị của $y$ rồi solve $x$, ta có được 2 nghiệm sau: $(x,y)\in \left \{ (0,0),(2,-1) \right \}\implies x+2y=0 \iff x=-2y$

Thế vào hệ ta có: $\left\{\begin{matrix} 9y(y+1)=0\\ -20y(y+1)(y-1)=0 \end{matrix}\right.$

Có ngay ý tưởng

Lấy $20(y-1)PT(1)+9PT(2)$ ta được: $20(y-1)(3x^2+xy-9x-y^2-9y)+9(2x^3-20x-x^2y-20y)=0\\ \iff (x+2y)(18x^2+15xy-60x-10y^2-80y)=0$

Trường hợp 1 dễ rồi

Trường hợp 2: Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} 18x^2-10y^2+15xy-60x-80y=0\\ 3x^2-y^2+xy-9x-9y=0 \end{matrix}\right.$

Hệ này cũng đã được anh Việt đưa ra dạng tổng quát

Hệ dạng: $\left\{\begin{matrix} a_{1}x^2+b_{1}y^2+c_{1}xy+d_{1}x+e_{1}y+f_{1}=0\\ a_{2}x^2+b_{2}y^2+c_{2}xy+d_{2}x+e_{2}y+f_{2}=0 \end{matrix}\right.$

Đặt: $\left\{\begin{matrix} a=a_{1}+ka_{2},b=b_{1}+kb_{2},c=c_{1}+kc_{2}\\ d=d_{1}+kd_{2},e=e_{1}+ke_{2},f=f_{1}+fa_{2} \end{matrix}\right.$

Thế vào công thức: $dec+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$. Tìm được $k$. Lấy $PT(1)+kPT(2)$ rồi tìm $\Delta$ và phân tích nhân tử thôi

Bài toán được giải quyết khá đơn giản về mặt ý tưởng

Bài 206 tương tự dạng này, cái trong ngoặc của bài này là sử dụng tư duy đẳng cấp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 18-06-2017 - 21:23

[Duy Thai2002]

Mình chưa hiểu rõ ý tưởng bài 206.Bạn có thể giải thích rõ không?

[HoangKhanh2002]

Tiếp lửa cho topic bằng 2 bài toán sau đây:

$\boxed{207}$ Giải phương trình $\sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}=4x^4-3x^2+5x$

$\boxed{208}$ Giải phương trình: $x+\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x+1}=3+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+4}$

[Duy Thai2002]

Tiếp lửa cho topic bằng 2 bài toán sau đây:

$\boxed{207}$ Giải phương trình $\sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}=4x^4-3x^2+5x$

$\boxed{208}$ Giải phương trình: $x+\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x+1}=3+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+4}$

Bài 207:

ĐK:$x\geq \frac{3}{8}$

Ta có: $\sqrt{4x-1}=\sqrt{1.(4x-1)}\leq \frac{4x-1+1}{2}=2x$(AM-GM)

$\sqrt[4]{8x-3}=\sqrt[4]{1.1.1(8x-3)}\leq \frac{1+1+1+8x-3}{4}=2x$ (AM-GM)

=>$\sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}\leq 4x$

Mặt khác, $4x^{4}-3x^{2}+5x-4x=x(x+1)(2x-1)^{2}\geq 0$ (đúng theo đk của x)

=> $4x^{4}-3x^{2}+5x\geq 4x$

=> $4x^{4}-3x^{2}+5x\geq \sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}$

=> $4x^{4}-3x^{2}+5x=\sqrt{4x-1}+\sqrt[4]{8x-3}$ <=> x=$\frac{1}{2}$ (n)

Vậy S={$\frac{1}{2}$}

[Baoriven]

Lời giải bài 208:

Điều kiện: $x\geq \frac{1}{2}$.

Ta sẽ phát hiện được $x=3$ là nghiệm của PT.

Tuy nhiên, ta thấy PT rất khó khăn trong biến đổi, có thể ta cũng dùng thử liên hợp chẳng hạn nhưng khá lâu.

Nên ta nghĩ ngay dùng PP đánh giá.

Viết lại PT ban đầu: $x-3=\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+4}-\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x+1}$.

Xét $x\geq 3$.

Ta có: $\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+4}-\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x+1}=x-3\geq 0$.

$\Rightarrow \sqrt{\frac{x+2}{2x-1}}\geq \sqrt[3]{\frac{2x+1}{x+4}}$.

Do ta xét $x\geq 3$ nên $1\geq \sqrt{\frac{x+2}{2x-1}}$.

Do đó; $\sqrt[3]{\frac{2x+1}{x+4}}\leq 1\Rightarrow x\leq 3$.

Nên: $x=3$.

Tương tự trường hợp còn lại.

Vậy $x=3$ là nghiệm của PT.

[HoangKhanh2002]

$\boxed{208}$ Giải phương trình: $x+\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x+1}=3+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+4}$

Bài này có vẻ khá phức tạp nhưng có thể xử lí khá dễ như sau:

$2x-1+\sqrt{2x-1}\sqrt[3]{2x-1+2}=x+2+\sqrt{x+2}\sqrt[3]{x+2+2}$

Xét hàm: $f(t)=t+\sqrt{t}\sqrt[3]{x+2} \implies f(t)'$. Dễ dàng kiểm tra được tính đồng biến

$\implies x+2=2x-1 \implies x=3$

Thử lại và kết luận

[hathu123]

Bài toán 209. Giải phương trình $2{x^4} - 4x + 1 - \left( {{x^3} - x - 1} \right)\sqrt {3{x^3} + 1}  = 0$