Với cách tổng quát thứ hai thì em vẫn nghịch đảo như bài cũ.
Bổ đề. $P$, $Q$ đẳng giác. $PA$ cắt $(PBC)$ tại $D$. $\Psi_A$ là hợp của phép nghịch đảo cực $A$, phương tích $AB\cdot AC$ với phép đối xứng qua phân giác góc $A$. Thì $\Psi_A(Q)=D$.
$P'$, $Q'$ đẳng giác với $P$, $Q$. Mà $P$, $Q$ là nghịch đảo của nhau qua $(O)$ nên $P'$, $Q'$ là hai điểm đối giác(antigonal image)
Hai điểm đối giác có tính chất $(P'B,P'C)+(Q'B,Q'C)=(P'C,P'A)+(Q'C,Q'A)=(P'A,P'B)+(Q'A,Q'B)=0\pmod\pi$
Cho $P'A$, $Q'A$ cắt $(P'BC)$, $(Q'BC)$ tại $D$, $X$.
Đã có $(DB,DC)=-(XB,XC)$. Lại có $(BC,BD)=(P'C,P'D)=(P'C,P'A)=-(Q'C,Q'A)=-(Q'C,Q'X)=-(BC,BX)$
Từ đó mà $X$, $D$ đối xứng qua $BC$.
$I$ là tâm $(OBC)$. $J$ đối xứng với $O$ qua $BC$.
$I$, $J$ là nghịch đảo của nhau qua $(O)$. Lấy $A_1$, $A_2$ là giao của $(O)$ với trung trực $BC$ thì $\overline{OA_1}^2=\overline{OA_2}^2=\overline{OI}\cdot\overline{OJ}$ nên $(A_1,A_2,I,J)$ là hàng điều hòa, vậy $AI$, $AJ$ đẳng giác.
Theo bổ đề thì
\[\Psi_A: AI,OK,(KPQ)\rightarrow AJ,(AOK),(ODX)\]
Do đối xứng qua $BC$ mà có ngay $(AOK)$, $(ODX)$ đi qua $J$.
Vậy kết luận $AI$, $OK$, $(KPQ)$ đồng quy, tức là $AR$ luôn đi qua tâm $(OBC)$ cố định.
_____________________________________
Tổng quát sau cùng của thầy em thấy không ổn? $K$, $R$ là nghịch đảo của nhau qua $(O)$ thì $R$ cố định.