Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề thi chọn đội tuyển PTNK ngày 1 năm 2016-2017

ptnk

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 baopbc

baopbc

    Himura Kenshin

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 410 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 21-09-2016 - 00:25

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSGQG PTNK NGÀY 1

 

Bài 1. Tìm $a$ để dãy số $(u_n)$ hội tụ biết $u_1=a$ và 

\[u_{n+1}=\left\{\begin{matrix} 2u_n-1 \ \text{nếu} \ u_n>0 & \\ -1 \ \text{nếu} \ -1\leq u_n\leq 0 & \\ u_n^2+4u_n+2 \ \text{nếu} \ u_n<-1 & \end{matrix}\right.\]

 

Bài 2. Tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức $x^ky^kz^k(x^3+y^3+z^3)\leq 3$ đúng với mọi số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $x+y+z=3$.

 

Bài 3. Cho hàm số $f:\mathbb{N^*}\to\mathbb{N^*}$ thỏa mãn các điều kiện : $f$ tăng thực sự và $f(2n)=2f(n)$ với mọi số $n$ nguyên dương.

a, Giả sử $f(1)=3$ và $p$ là số nguyên tố lớn hơn $3$. Chứng minh tồn tại $n$ sao cho $f(n)$ chia hết cho $p$.

b, Cho $q$ là số nguyên tố lẻ. Hãy xây dựng một hàm $f$ thỏa mãn điều kiện bài toán mà $f(n)$ không chia hết cho $q$ với mọi số nguyên dương $n$.

 

Bài 4. Tam giác $ABC$ có $\angle BAC$ tù, $H$ là chân đường cao từ $A$ xuống $BC$. Điểm $M$ thay đổi trên cạnh $AB$. Dựng $N$ sao cho $\triangle BMN\sim \triangle HCA$ ($H,N$ nằm khác phía đối với $AB$).

a, $CM$ cắt đường tròn ngoại tiếp $\triangle BMN$ tại $K$ khác $M$. Chứng minh $NK$ luôn đi qua điểm cố định.

b, $NH$ cắt $AC$ tại $P$. Dựng $Q$ sao cho $\triangle HPQ\sim \triangle HNM$ ($Q,M$ nằm khác phía đối với $NP$). Chứng minh rằng $Q$ thuộc một đường thẳng cố định.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 22-09-2016 - 17:16


#2 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 21-09-2016 - 15:44

Bài 1

Nếu $a>1$ ta có $u_{n}>1$ với mọi n nên $u_{n+1}=2u_{n}-1$

dễ thấy trong trường hợp này ta có dãy ko hội tụ

nếu $a=1$ ta có $lim u_{n}=1$

nếu $0 \geq a \geq -1$ thì ta có $lim u_{n}=-1$

nếu $1> a > 0$ thì ta có $1>u_{1}>-1$

nếu $1>u_{i} >0$ thì ta có $1>u_{i+1}>-1$

nếu $0\geq u_{i} \geq{-1} $ ta có $u_{i+1}=-1$

nên $1> u_{n} \geq -1$ với mọi n

nếu tồn tại $i$ sao cho  $0\geq u_{i} \geq{-1} $ thì ta có $limu_{n}=-1$

nếu $1>u_{n}>0$ với mọi $n$ thì khi đó $u_{n+1}-u_{n}=u_{n}-1<0$ nên $u_{n}$ giảm

suy ra $u_{n}$ hội tụ về $a$ khi đó $a=1$ (vô lí do $u_{n}$ giảm)

vậy với $1>a \geq -1$ thì $lim U_{n}=-1$

nếu $-1 >a > -3$ thì ta có $-1>u_{1} \geq -2 >-3$ nên bằng quy nạp ta có $-1>u_{n}>-2$ với mọi $n$

khi đó $u_{n+1}-u_{n}=(u_{n}+1)(u_{n}+2)<0$ nên $u_{n}$ giảm nên $u_{n}$ hội tụ

khi đó $lim u_{n}=-2$

nếu $ -3 \geq a > -2-\sqrt{3}$ thì $-1 \leq u_{1} <1$ nên làm như trên ta có $limu_{n}=-1$

nếu $a=-2-\sqrt{3}$ thì $u_{1}=1$ làm như trên ta có $lim u_{n}=1$

nếu $a <-2-\sqrt{3}$thì $u_{1}>1$ khi đó làm như trên ta  có $u_{n}$ phân kì

vậy $1 \geq a \geq -2-\sqrt{3}$ thì $u_{n}$ hội tụ 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi canhhoang30011999: 21-09-2016 - 15:47


#3 vpvn

vpvn

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 41 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nơi không tồn tại
  • Sở thích:LMHT , ONE PIECE

Đã gửi 21-09-2016 - 18:31

Bài 4

a) NK cắt AC tại X .

Ta có $\widehat{NKB}$=$\widehat{NMB}$ (doBMKN nội tiếp)

                                     =$\widehat{HCA}$ (doBMN đồng dạng HCA)

                                     =$\widehat{BCX}$

suy ra tứ giác XKBC nội tiếp, khi đó $\widehat{CBX}$=$\widehat{CKX}$=90

suy ra X cố định do đó NK luôn qua một điểm cố định.

b) (BMN) cắt BC tại Y

Ta có $\widehat{BYN}$=$\widehat{BMN}$(do BYMN nội tiếp)

                                     =$\widehat{BCX}$

suy ra NY song song AC

suy ra $\frac{MH}{HQ}$=$\frac{NH}{HP}$=$\frac{YH}{HC}$

khi đó MY song song CQ

mà MY vuông góc AC suy ra CQ vuong góc AC 

suy ra Q thuộc đường thẳng cố định



#4 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 21-09-2016 - 22:47

Bài 2

$k=1, 2$, cho $2x=2y=z=\frac{3}{2}$ không thoả mãn.

$k=3$. Giả sử $x\leq 1$ min. Ta có $x^3y^3z^3(x^3+y^3+z^3)=xyz(\frac{2x}{3-x})^2(\frac{(3-x)yz}{2})^2(9x^2-27x+27-(3-x)yz)\leq x(\frac{3-x}{2})^2(\frac{2x}{3-x})^2(3x^2-9x+9)^3=3(x^3-3x^2+3x)^3\leq 3$. Vậy $k=3$.

Bài 3

a) Chọn $2^k>p$. Xét dãy $f(2^k);f(2^k+1);...;f(2^{k+1})$, đặt $d=(f(n+1)-f(n)\mid 2^k\leq n\leq 2^{k+1})$. Dễ có $d\leq 3$.

-$d=3$. Dãy trên là cấp số cộng công sai $3$, có $2^k>p$ phần tử nên $\exists 2^k\leq n\leq 2^{k+1}, p\mid f(n)$.

-$f(n+1)-f(n)=d=1$. Xét dãy $f(n2^k);f(n2^k+1);...;f((n+1)2^k)$. Dễ có đây là $2^k>p$ số nguyên dương liên tiếp nên $\exists n2^k\leq n\leq (n+1)2^k, p\mid f(n)$

-$f(n+1)-f(n)=d=2$. Xét dãy $f(n2^k);f(n2^k+1);...;f((n+1)2^k)$ rồi chứng minh tương tự như trên.

b) Chọn $f(n)=2^{\left \lfloor log_2n \right \rfloor}+nq$. Hàm $f$ thoả mãn đề bài.

Quyết tâm vòng 2 phục thù!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 21-09-2016 - 22:48


#5 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 21-09-2016 - 23:31

Bài 2

$k=1, 2$, cho $2x=2y=z=\frac{3}{2}$ không thoả mãn.

$k=3$. Giả sử $x\leq 1$ min. Ta có $x^3y^3z^3(x^3+y^3+z^3)=xyz(\frac{2x}{3-x})^2(\frac{(3-x)yz}{2})^2(9x^2-27x+27-(3-x)yz)$. 

 

Phải là: $x^3y^3z^3(x^3+y^3+z^3)=xyz(\frac{2x}{3-x})^2(\frac{(3-x)yz}{2})^2(9x^2-27x+27-3(3-x)yz)$ khi đó áp dụng AM -GM không được


Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#6 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 22-09-2016 - 08:55

Bài hình a) có thể phát biểu như sau

 

Cho tam giác $ABC$ có tâm ngoại tiếp $O$ và $M$ di chuyển trên $AB$. Lấy $N$ sao cho $NB\perp AB$ và $MN\perp AO$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $N$ vuông góc $MC$ đi qua điểm cố định khi $M$ thay đổi.

 

Tổng quát

 

Cho tam giác $ABC$ và điểm $D$ cố định trên cạnh $BC$. $M$ di chuyển trên $AB$. Lấy $N$ sao cho $NB\perp AB$ và $MN\perp AD$. Chứng minh rằng đường thẳng qua $N$ vuông góc $MC$ đi qua điểm cố định khi $M$ thay đổi.



#7 1110004

1110004

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 217 Bài viết

Đã gửi 22-09-2016 - 11:01

Cách 1:

 

Chọn $x=y=0.8,z=1.4$ dễ dàng kiểm chứng $k=1,2$ BĐT trên không đúng. Ta sẽ chứng minh $k$ nguyên dương nhỏ nhất để BĐT đề bài cho luôn đúng là $k=3$.

Với $k=3$ ta cần chứng minh: ${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$
Không mất tính tổng quát ta giả sử $x \le y \le z$. Khi đó luôn tồn tại $m>n \geq 0$ sao cho $x=m-n,y=m+n$. Khi đó:

$$z = 3 - 2m; m = \frac{{x + y}}{2} \le 1$$

* Xét hàm số: $$\displaystyle f\left( n \right) = {\left( {m - n} \right)^3}{\left( {m + n} \right)^3}{z^3}\left[ {{z^3} + {{\left( {m - n} \right)}^3} + {{\left( {m + n} \right)}^3}} \right] = {z^3}{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)^3}\left( {{z^3} + 2{m^3} + 6m{n^2}} \right)$$

Khi đó: 

$$f'(n)= {z^3}{\left( {{m^2} - {n^2}} \right)^2}\left( { - 6nz^3 - 48m{n^3}} \right) \le 0$$

Do đó:

$$f\left( n \right) \le f\left( 0 \right) = {m^6}{z^3}\left( {{z^3} + 2{m^3}} \right) = {m^6}{\left( {3 - 2m} \right)^3}\left( {{{\left( {3 - 2m} \right)}^3} + 2{m^3}} \right)$$

* Xét hàm số :

$$g\left( m \right) = {m^6}{\left( {3 - 2m} \right)^3}\left[ {{{\left( {3 - 2m} \right)}^3} + 2{m^3}} \right]$$

Ta có: 

$$g'\left( m \right)= 18{m^5}{\left( {3 - 2m} \right)^2}\left( {m - 1} \right)\left[ {\left( {m - 1} \right)\left( {8{m^2} - 37m + 26} \right) - 1} \right] \ge 0$$

Vậy $$g\left( m \right) \le g\left( 1 \right) = 3$$

Tức: $${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$$

 

Cách 2: (Nguyễn Văn Huyện)

 

Lập luận tương tự như cách 1. Ta cần chứng minh:$${x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) \le 3$$

 

Không mất tính tổng quát ta giả sử $z$ là số lớn nhất trong ba số $x,y,z$. Đặt $\displaystyle t = \frac{{x + y}}{2}$ và:$$f\left( {x,y,z} \right) = {x^3}{y^3}{z^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)$$

Ta sẽ chứng minh $f\left( {x,y,z} \right) \le f\left( {t,t,z} \right)$.

 

Ta có:

$$f\left( {t,t,z} \right) - f\left( {x,y,z} \right) = {z^3}\left[ {{t^6}\left( {2{t^3} + {z^3}} \right) - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right)} \right]$$

Mà:

$${t^6}\left( {2{t^3} + {z^3}} \right) - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3} + {z^3}} \right) = {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - {x^3}{y^3}\left( {{x^3} + {y^3}} \right)= {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - {x^3}{y^3}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} - xy} \right)= {z^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - 2t{x^3}{y^3}\left( {4{t^2} - 3xy} \right)\ge {t^3}\left( {{t^6} - {x^3}{y^3}} \right) + 2{t^9} - 2t{x^3}{y^3}\left( {4{t^2} - 3xy} \right)= 3t\left( {{t^2} - xy} \right)\left[ {{t^6} + xy\left( {2xy + {t^2}} \right)\left( {{t^2} - xy} \right)} \right] \ge 0$$

Vậy $$f\left( {x,y,z} \right) \le f\left( {t,t,z} \right) = f\left( {t,t,3 - 2t} \right) = {t^6}{(3 - 2t)^3}\left[ {2{t^3} + {{(3 - 2t)}^3}} \right]$$

Ta chỉ cần chứng minh: $${t^6}{(3 - 2t)^3}\left[ {2{t^3} + {{(3 - 2t)}^3}} \right] \le 3$$

(Làm như cách 1)

 

Còn một cách làm và vài lời nhận xét bạn đọc quan tâm xem link đính kèm!

https://goo.gl/p4xQPV


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1110004: 22-09-2016 - 11:49

Dẫu biết cố quên là sẽ nhỡ------------------------------------------------nên dặn lòng cố nhớ để mà quên

                                      

Jaian xin hát bài mưa ơi xin đừng rơi ạ!!  66.gifMưa ơi đừng rơi nữa ..........                                                                                                                                                                                                                                                               .........Mẹ vẫn chưa về đâu!..............


#8 huya1k43pbc

huya1k43pbc

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 49 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ngạo nghễ cười trên cả những niềm đau
  • Sở thích:Hạt cát vô danh.

Đã gửi 22-09-2016 - 23:51

$x^3y^3z^3(x^3+y^3+z^3)\leq 3\Leftrightarrow 27+3xyz-9(xy+yz+zx)\leq \frac{3}{(xyz)^3}\Leftrightarrow 3(xy+yz+zx)+\frac{1}{(xyz)^3}\geq xyz+9.(1).Nếu t<0,5=>(1)đúng.Với 0,5<\leq 1 ta có:(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2+2(xyz)^2+1\geq 2xyz(x+y+z)=6xyz\Leftrightarrow (xy+yz+zx)^2\geq 12xyz-6(xyz)^2-1>0.Đặt:t=xyz;f(t)=\frac{1}{t^3}+3\sqrt{12t-2t^2-1}-t ;f'(t)=-\frac{3}{t^4}-1+\frac{6(3-t)}{\sqrt{12t-2t^2-1}}<-\frac{3}{t^4}-1+\frac{6(3-t)}{9\sqrt{t}}=(\frac{-3}{t^4}+\frac{2}{\sqrt{t}})-1-\frac{2\sqrt{t}}{3}<0(\frac{1}{2}<t<1)=>f(t)nghịch biến \Rightarrow f(t)\geq 9$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huya1k43pbc: 23-09-2016 - 10:59


#9 canhhoang30011999

canhhoang30011999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 634 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K43 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:toán

Đã gửi 08-10-2016 - 15:43

 

-$f(n+1)-f(n)=d=2$. Xét dãy $f(n2^k);f(n2^k+1);...;f((n+1)2^k)$ rồi chứng minh tương tự như trên.

 

câu 3 bạn làm rõ đoạn này cái







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh