Đến nội dung


Hình ảnh

Đề Thi VMO năm 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 72 trả lời

#1 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1390 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 04-01-2017 - 12:57

*
Phổ biến

     BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO                                KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2017

                                                                                                         

       ĐỀ THI CHÍNH THỨC

                             Môn Toán 

                         Thời gian : 180 phút

                                     

Ngày thi thứ nhất 05/01/2017

 

Bài 1 . (5,0 điểm)

 

Cho $a$ là số thực và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi : 

 

$$u_1=a,u_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}u_n+\frac{1}{4}}\forall n\in\mathbb{N^{*}}$$

 

a)Khi $a=5$ ,chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

 

b)Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $(u_n)$ xác định và có giới hạn hữu hạn

 

Bài 2 . (5,0 điểm)

 

Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn : 

 

$$\left\{\begin{matrix} P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2} & & \\ P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5} & & \end{matrix}\right.$$

 

Bài 3 . (5,0 điểm)

 

Cho tam giác $ABC$ nhọn ,không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ .Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ ; $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $A$)

 

a)Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ ; $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng: $MN\perp OH$

 

b)Các đường thẳng $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q$ ($P$ và $Q$ khác $D$ ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ ($R,S$ khác $A$ ).Chứng minh rằng : $BP,CQ$ và $RS$ đồng quy

 

Bài 4 .  (5,0 điểm)

 

Cho số nguyên $n>1$ . Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị , mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi ba màu : đen,trắng,xám . Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được tô màu đen hoặc cùng màu trắng . Người ta điền vào mỗi ô xám số $0$ , mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm . Một cách điền số như vậy được gọi là $k-$ cân đối (với $k$ là số nguyên dương) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:

 

    (i) Mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn $\left [ -k;k \right ]$

 

    (ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập số nguyên dương được điền 

         trên cột đó không giao nhau;nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau

 

a)Với $n=5$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại cách điền hình số $k-$ cân đối cho cách tô màu như hình bên dưới

 

Capture.PNG

 

b)Với $n=2017$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để với mọi cách tô màu đối xứng , luôn tồn tại cách điền $k$ cân đối

 

 Ngày thi thứ hai 06/01/2017

 

Bài 5 . (6,0 điểm).

 

Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:

 

$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$

 

với mọi số thực $x,y$

 

Bài 6 . (7,0 điểm) 

 

Chứng minh rằng:

 

a)$\sum_{k=1}^{1008}kC_{2017}^{k}\equiv 0$ (mod $2017^2$ )

 

b)$\sum_{k=1}^{504}\left ( -1 \right )^kC_{2017}^{k}\equiv 3\left ( 2^{2016}-1 \right )$ (mod $2017^2$ )

 

Bài 7 . (7,0 điểm)

 

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$  và $G$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $O$  của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AC$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACG$ cắt $AB$ tại $F$ ( $E$ và $F$ khác $A$ )

 

a)Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Chứng minh $AK,BC$ và $OG$ đồng quy

 

b)Cho $D$ là một điểm thuộc cung $\overbrace{BOC}$ chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ; $GB$ cắt $CD$ tại $M$ . $GC$ cắt $BD$ tại $N$ . Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$ .Chứng minh rằng: khi $G$ thay đổi trên cung BC không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ , đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 06-01-2017 - 11:51


#2 Dinh Xuan Hung

Dinh Xuan Hung

    Thành viên nổi bật 2015

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1390 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{THPT}$ $\textrm{ Chuyên Lương Văn Tụy}$ $\textrm{Ninh Bình}$
  • Sở thích:$\textrm{Làm Những Gì Mình Thích}$

Đã gửi 05-01-2017 - 11:44

ĐỀ THI NGÀY 1

Hình gửi kèm

  • 15609207_407049389686207_694198245_o.jpg


#3 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 05-01-2017 - 11:54

Tình hình các bạn như thế nào nhỉ, mình làm xong câu 1 với câu 3 là hết giờ luôn rồi (làm đúng ý tưởng câu 2 mà hết giờ luôn -_-)

Câu 3 mình làm thế này:

a) Chứng minh $MN$ là trục đẳng phương của đường tròn Euler với đường tròn $(O)$

b) Gọi $T$ là trung điểm $EF$, $L$ là trung điểm $BC$

Ta chứng minh tam giác $LBT$ đồng dạng tam giác $CDE$ (c-g-c) thì ra được $B,T,P$ thẳng hàng

Tương tự $C,T,Q$ thẳng hàng

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $O$, để chứng minh $R,T,S$ thẳng hàng mình sử dụng định lý Thales chứng minh $\frac{LT}{A'S}=\frac{RL}{RA'}$

Ở đây biến đổi đại số bằng phương tích thôi


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Nhat Tuan: 05-01-2017 - 11:55

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#4 HoangPTNKT1215

HoangPTNKT1215

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 05-01-2017 - 12:09

Câu 1:

Ý tưởng là để ý x = 3 là điểm nhạy cảm của dãy số.

a)Ta chứng minh các bước sau

- $x_n>3 \forall n$

- $|x_{n+1}-3|<\frac{|x_n-3|}{2}$

b)Chia làm hai TH:

Nếu tồn tại $n$ để $x_n>3$ thì cmtt như a)

Xét $x_n<3 \forall n$

Chọn dãy $v_n = \frac{1}{2} + \sqrt{2u_n+\frac{1}{4}}$, ta có $u_n>v_n$ và $lim v_n = 3$, suy ra $lim x_n = 3$ do bị kẹp

 

Câu 2:

Tồn tại

Chọn $A(x) = (x-1)^3-2$, $B(X) = x^2 + 2x - 4$, ta có:

$gcd(A,B) = 1$, $P(x) - x$ chia hết cho $A(x)$ và $Q(x) - (3x-1)$ chia hết cho $B(x)$

Suy ra, ta cần tìm $P(x)$ thoả mãn:

$P = A.Q + x = B.R + (3x-1)$

$\Leftrightarrow A.Q - B.R = 2x-1$

Vì $gcd(A,B) = 1$ nên theo thuật chia Euclid, tồn tại $Q,R$ hệ số nguyên thoả mãn, suy ra dpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangPTNKT1215: 05-01-2017 - 12:34


#5 Chaosemperordragon

Chaosemperordragon

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

Đã gửi 05-01-2017 - 12:21

Tình hình các bạn như thế nào nhỉ, mình làm xong câu 1 với câu 3 là hết giờ luôn rồi (làm đúng ý tưởng câu 2 mà hết giờ luôn -_-)

Câu 3 mình làm thế này:

a) Chứng minh $MN$ là trục đẳng phương của đường tròn Euler với đường tròn $(O)$

b) Gọi $T$ là trung điểm $EF$, $L$ là trung điểm $BC$

Ta chứng minh tam giác $LBT$ đồng dạng tam giác $CDE$ (c-g-c) thì ra được $B,T,P$ thẳng hàng

Tương tự $C,T,Q$ thẳng hàng

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $O$, để chứng minh $R,T,S$ thẳng hàng mình sử dụng định lý Thales chứng minh $\frac{LT}{A'S}=\frac{RL}{RA'}$

Ở đây biến đổi đại số bằng phương tích thôi

bạn ơi MN sao lại là trục đẳng phương của hai đường tròn kia được hả bạn



#6 huykinhcan99

huykinhcan99

    Sĩ quan

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 317 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Toán K26 - Chuyên Thái Nguyên

Đã gửi 05-01-2017 - 12:22

Bài 1. Cho $a$ là một số thực và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi

\[u_1=a, \quad u_{n+1}=\dfrac{1}{2}+\sqrt{\dfrac{2n+3}{n+1}u_n+\dfrac{1}{4}}, \quad \forall \ n \in \mathbb{N^*}\]

a) Khi $a=5$, chứng minh dãy số $\left(u_n\right)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $\left(u_n\right)$ xác định và có giới hạn hữu hạn.

 

Bài 2 (5,0 điểm). Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thoả mãn

\[P\left(1+\sqrt[3]{2}\right)=1+\sqrt[3]{2} \text{ và } P\left(1+\sqrt{5}\right)=2+3\sqrt{5}\]

 

Bài 3 (5,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E$, $F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ các đỉnh $B$, $C$; $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $A$).

a) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$; $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh rằng $MN\perp OH$.

b) Các đường thẳng $DE$, $DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P$, $Q$ ($P$ và $Q$ khác $D$). Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ ($R$ và $S$ khác $A$). Chứng minh rằng $BP$, $CQ$ và $RS$ đồng quy.

 

Bài 4 (5,0 điểm). Cho số nguyên $n>1$. Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị, mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi một trong ba màu: đen, trắng, xám. Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được tô cùng màu đen hoặc cùng màu trắng. Người ta điền vào mỗi ô xám số $0$, mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm. Một cách điền số như vậy được gọi là $k$ - cân đối (với $k$ nguyên dương) nếu thoả mãn các điều kiện sau:

(i) Mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn $\left[-k; k\right]$.

(ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập các số nguyên dương được điền trên cột đó không giao nhau; nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau.

a) Với $n=5$, tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại cách điền số $k$ - cân đối cho các tô màu đối xứng ở hình

 

 

b) Với $n=2017$, tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để với mọi cách tô màu đối xứng, luôn tồn tại cách điền số $k$ - cân đối.


$$\text{Vuong Lam Huy}$$

#7 Lyness

Lyness

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 05-01-2017 - 12:26

Câu 3a chứng minh MN là trục đẳng phương của đường tròn Euler cảu tam giác ABC và (O).

Câu 3b gọi T là trung điểm BC

Ta có (T) và (I) trực giao

Suy ra Rh là đường đối trung của tam giác REF ( R, H, T thẳng hàng )

$\widehat{FRH}=\widehat{FAH}=\widehat{OAE}=\widehat{SRE}$

Suy ra RT và RS đẳng giác trong tam giác REF hay RS qua trung điểm EF

CI là đường đối trung của CEF do (I) và (T) trực giao

Dễ có F,I,D,C đồng viên

$\widehat{FCI}=\widehat{QDA}=\widehat{QCA}$

Suy ra CI và CQ là 2 dường đẳng hiacs trong tam giác CEF là CQ đi qua trung điểm EF

Tương tự với BP. Suy ra RS, BP, CQ đồng quy tại trung điểm EF.

Hình gửi kèm

  • Capture.PNG


#8 Hoang Nhat Tuan

Hoang Nhat Tuan

    Hỏa Long

  • Thành viên
  • 974 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:11 Toán, THPT chuyên Võ Nguyên Giáp, Quảng Bình
  • Sở thích:Geometry, Combinatorial

Đã gửi 05-01-2017 - 12:38

bạn ơi MN sao lại là trục đẳng phương của hai đường tròn kia được hả bạn

Bạn chứng minh tứ giác EIBD và FICD nội tiếp bằng biến đổi góc rồi suy ra phương tích nhé


Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.

#9 moonkey01

moonkey01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TP.HCM
  • Sở thích:Hình học, Số học

Đã gửi 05-01-2017 - 12:57

Câu 1:

Ý tưởng là để ý x = 3 là điểm nhạy cảm của dãy số.

a)Ta chứng minh các bước sau

- $x_n>3 \forall n$

- $|x_{n+1}-3|<\frac{|x_n-3|}{2}$

b)Chia làm hai TH:

Nếu tồn tại $n$ để $x_n>3$ thì cmtt như a)

Xét $x_n<3 \forall n$

Chọn dãy $v_n = \frac{1}{2} + \sqrt{2u_n+\frac{1}{4}}$, ta có $u_n>v_n$ và $lim v_n = 3$, suy ra $lim x_n = 3$ do bị kẹp

 

Câu 2:

Tồn tại

Chọn $A(x) = (x-1)^3-2$, $B(X) = x^2 + 2x - 4$, ta có:

$gcd(A,B) = 1$, $P(x) - x$ chia hết cho $A(x)$ và $Q(x) - (3x-1)$ chia hết cho $B(x)$

Suy ra, ta cần tìm $P(x)$ thoả mãn:

$P = A.Q + x = B.R + (3x-1)$

$\Leftrightarrow A.Q - B.R = 2x-1$

Vì $gcd(A,B) = 1$ nên theo thuật chia Euclid, tồn tại $Q,R$ hệ số nguyên thoả mãn, suy ra dpcm

 

$Q(x)-(3x-1)$ chia hết cho $B(x)$ thì mọi nghiệm của $B(x)$ là mọi nghiệm của $Q(x)-(3x-1)$, nhưng tại sao lại thế vậy anh ?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi moonkey01: 05-01-2017 - 13:00


#10 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1855 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 05-01-2017 - 13:05

$Q(x)-(3x-1)$ chia hết cho $B(x)$ thì mọi nghiệm của $B(x)$ là mọi nghiệm của $Q(x)-(3x-1)$, nhưng tại sao lại thế vậy anh ?

Ý bạn là sao ? 



#11 moonkey01

moonkey01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TP.HCM
  • Sở thích:Hình học, Số học

Đã gửi 05-01-2017 - 13:13

Ý bạn là sao ? 

 

Do $B(x)$ có 2 nghiệm nên em không rõ là $Q(x)-(3x-1)$ có nhận số còn lại làm nghiệm hay không (em không rành lắm về đa thức). Nếu có, anh có thể chứng minh chặt chẽ luôn được không ạ ? 



#12 supernatural1

supernatural1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:Modern talking

Đã gửi 05-01-2017 - 13:16

Tình hình các bạn như thế nào nhỉ, mình làm xong câu 1 với câu 3 là hết giờ luôn rồi (làm đúng ý tưởng câu 2 mà hết giờ luôn -_-)

Câu 3 mình làm thế này:

a) Chứng minh $MN$ là trục đẳng phương của đường tròn Euler với đường tròn $(O)$

b) Gọi $T$ là trung điểm $EF$, $L$ là trung điểm $BC$

Ta chứng minh tam giác $LBT$ đồng dạng tam giác $CDE$ (c-g-c) thì ra được $B,T,P$ thẳng hàng

Tương tự $C,T,Q$ thẳng hàng

Gọi $A'$ đối xứng $A$ qua $O$, để chứng minh $R,T,S$ thẳng hàng mình sử dụng định lý Thales chứng minh $\frac{LT}{A'S}=\frac{RL}{RA'}$

Ở đây biến đổi đại số bằng phương tích thôi

bạn ơi chứng minh tam giác $ LBT $ đồng dạng tam giác $ CDE $ kiểu gì thế



#13 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1554 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 05-01-2017 - 13:17

Câu b bài hình chứng minh BP và CQ đi qua trung điểm EF
Gọi AK là đường kính của (O) và W là trung điểm BC.
Tam giác RBC và tam giác RFE đồng dạng
R, W, K thẳng hàng. Gọi T là trung điểm EF
Từ đó biến đổi góc như sau FRT=BRW=KRB=SAB=FRS nên RS đí qua T

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#14 One Piece

One Piece

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 36 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN

Đã gửi 05-01-2017 - 13:20

Em làm sai xin sửa lại
phần a thì k=3
b) Ta cm với bảng 2nx2n thì max là nxn còn bảng 2n+1x2n+1 thì max là n(n+1) 
quy nạp n=3 4 k khó để chỉ ra đúng 
Giả sử đúng với 2nx2n 
xét bảng 2n+1x2n+1 
giả sử hàng 1 có a ô đen thì cột 1 cũng thế giả sử a >= n+1 thì cm cột cuối <= n ô đen ( ta có thể xếp cho a ô đen thành thứ tự từ dưới lên .) nếu hàng cuối có >=n+1 ô đen ta sẽ dễ dàng xác định đc toàn bảng và thấy nó < n(n+1)
nếu hàng dưới còn n ô dên theo giả thiết quy nạp có dpcm
với 2n-1x2n-1 đúng quy nạp lên 2nx2n tương tự
dpcm
PS e k vẽ đc hình nên hơi mơ hồ


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi One Piece: 06-01-2017 - 10:22


#15 lamvienckt13

lamvienckt13

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 7 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Kon Tum

Đã gửi 05-01-2017 - 13:21

Câu 1:

Ý tưởng là để ý x = 3 là điểm nhạy cảm của dãy số.

a)Ta chứng minh các bước sau

- $x_n>3 \forall n$

- $|x_{n+1}-3|<\frac{|x_n-3|}{2}$

b)Chia làm hai TH:

Nếu tồn tại $n$ để $x_n>3$ thì cmtt như a)

Xét $x_n<3 \forall n$

Chọn dãy $v_n = \frac{1}{2} + \sqrt{2u_n+\frac{1}{4}}$, ta có $u_n>v_n$ và $lim v_n = 3$, suy ra $lim x_n = 3$ do bị kẹp

 

Câu 2:

Tồn tại

Chọn $A(x) = (x-1)^3-2$, $B(X) = x^2 + 2x - 4$, ta có:

$gcd(A,B) = 1$, $P(x) - x$ chia hết cho $A(x)$ và $Q(x) - (3x-1)$ chia hết cho $B(x)$

Suy ra, ta cần tìm $P(x)$ thoả mãn:

$P = A.Q + x = B.R + (3x-1)$

$\Leftrightarrow A.Q - B.R = 2x-1$

Vì $gcd(A,B) = 1$ nên theo thuật chia Euclid, tồn tại $Q,R$ hệ số nguyên thoả mãn, suy ra dpcm

câu 1b là tìm tất cả a mà :/



#16 supernatural1

supernatural1

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 234 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Yên Bái
  • Sở thích:Modern talking

Đã gửi 05-01-2017 - 13:27

Câu b bài hình chứng minh BP và CQ đi qua trung điểm EF
Gọi AK là đường kính của (O) và W là trung điểm BC.
Tam giác RBC và tam giác RFE đồng dạng
R, W, K thẳng hàng. Gọi T là trung điểm EF
Từ đó biến đổi góc như sau FRT=BRW=KRB=SAB=FRS nên RS đí qua T

chứng minh BP và CQ đi qua trung điểm EF kiểu gì thế



#17 captain luffy7

captain luffy7

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 14 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Việt Nam
  • Sở thích:Mathematics...

Đã gửi 05-01-2017 - 13:36

Câu b hình có thể cm BP,CQ qua trung điểm EF bằng cách gọi J là trung điểm EF và dung ceva sin cho tam giác ABE và ACF biến đổi đưa về tỉ số các cạnh và dùng tam giác đồng dạng 1 xí là xong. Bài này có trong tập Red Geometry của thầy Hùng thì phải  :D  :D. Hoặc có thể tìm trong chuyên đề của thầy Hùng trong Epsilon 3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi captain luffy7: 05-01-2017 - 13:38


#18 Kamii0909

Kamii0909

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 148 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Huệ
  • Sở thích:Mathematic, Light Novel

Đã gửi 05-01-2017 - 13:37

Cách của e cho b hình. Hơi dài.
Dễ thấy $RHEF$ điều hòa và $RH \parallel EF$ nên $RS$ chia đôi $EF$. Ta cmr $BP,CQ$ chia đôi $EF$.
Gọi $K$ là giao điểm $BP,CQ$. $G$ là giao điểm $AD,EF$.
Theo định lý Pascal cho 6 điểm $A,D,B,C,P,Q$ có $\overline{K,E,F}$.
Mặt khác dễ thấy $BFEC$ nội tiếp nên $BFGD,CEGD$ nội tiếp.
Có $\angle{BGC}=\angle{BGD}+\angle{CGD}=\angle{BFD}+\angle{CED}=\angle{BKC}$ nên $B,K,G,C$ đồng viên.
Gọi $X$ là giao $BC,EF$.
Có $XB.XC=XE.XF=XG.XK$ mà $(EF,XG)=-1$ nên $K$ là trung điểm $EF$. Ta có đpcm.

#19 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Điều hành viên
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 05-01-2017 - 13:43

Hy vọng bài viết này giúp ích giải câu b)

 

http://analgeomatica...-dien-aops.html



#20 vietdohoangtk7nqd

vietdohoangtk7nqd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết

Đã gửi 05-01-2017 - 13:49

câu hình

áp dụng định lý Pascal cho 6 điểm APCDBQ suy ra giao điểm CQ và BP nằm trên EF rồi dùng tỉ số là ra điểm đó là trung điểm

chứng minh tiếp E,F,I,O,trung điểm BC, đồng viên thì ra câu b)

Mình hôm nay dốt quá chỉ làm được câu 1a, câu 1b làm sai 1 trường hợp, câu 2 mình ra không tồn tại và mình đã thấy sai, câu 3 thì mình làm hoàn chỉnh, câu 4 thì chỉ được câu a)

có cao thủ nào làm Full đề không mình dốt quá đến giờ còn buồn, không biết có duo9c5 tinh thần để mai thi không






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh