BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA THPT NĂM 2017
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Môn Toán
Thời gian : 180 phút
Ngày thi thứ nhất 05/01/2017
Bài 1 . (5,0 điểm)
Cho $a$ là số thực và xét dãy số $(u_n)$ xác định bởi :
$$u_1=a,u_{n+1}=\frac{1}{2}+\sqrt{\frac{2n+3}{n+1}u_n+\frac{1}{4}}\forall n\in\mathbb{N^{*}}$$
a)Khi $a=5$ ,chứng minh dãy số $(u_n)$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
b)Tìm tất cả các giá trị của $a$ để dãy số $(u_n)$ xác định và có giới hạn hữu hạn
Bài 2 . (5,0 điểm)
Tồn tại hay không đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn :
$$\left\{\begin{matrix} P(1+\sqrt[3]{2})=1+\sqrt[3]{2} & & \\ P(1+\sqrt{5})=2+3\sqrt{5} & & \end{matrix}\right.$$
Bài 3 . (5,0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ nhọn ,không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ .Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ ; $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ ($D$ khác $A$)
a)Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ ; $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$ . Chứng minh rằng: $MN\perp OH$
b)Các đường thẳng $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q$ ($P$ và $Q$ khác $D$ ) . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ ($R,S$ khác $A$ ).Chứng minh rằng : $BP,CQ$ và $RS$ đồng quy
Bài 4 . (5,0 điểm)
Cho số nguyên $n>1$ . Bảng vuông $ABCD$ kích thước $n\times n$ gồm $n^2$ ô vuông đơn vị , mỗi ô vuông đơn vị được tô bởi ba màu : đen,trắng,xám . Một cách tô màu được gọi là đối xứng nếu mỗi ô có tâm trên đường chéo $AC$ được tô màu xám và mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được tô màu đen hoặc cùng màu trắng . Người ta điền vào mỗi ô xám số $0$ , mỗi ô trắng một số nguyên dương và mỗi ô đen một số nguyên âm . Một cách điền số như vậy được gọi là $k-$ cân đối (với $k$ là số nguyên dương) nếu thỏa mãn các điều kiện sau:
(i) Mỗi cặp ô đối xứng qua $AC$ được điền cùng một số nguyên thuộc đoạn $\left [ -k;k \right ]$
(ii) Nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô đen thì tập các số nguyên dương được điền trên hàng đó và tập số nguyên dương được điền
trên cột đó không giao nhau;nếu một hàng và một cột giao nhau tại ô trắng thì tập các số nguyên âm được điền trên hàng đó và tập các số nguyên âm được điền trên cột đó không giao nhau
a)Với $n=5$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để tồn tại cách điền hình số $k-$ cân đối cho cách tô màu như hình bên dưới
b)Với $n=2017$ , tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ để với mọi cách tô màu đối xứng , luôn tồn tại cách điền $k$ cân đối
Ngày thi thứ hai 06/01/2017
Bài 5 . (6,0 điểm).
Tìm tất cả các hàm số : $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn hệ thức:
$$f\left ( xf\left ( y \right )-f\left ( x \right ) \right )=2f\left ( x \right )+xy$$
với mọi số thực $x,y$
Bài 6 . (7,0 điểm)
Chứng minh rằng:
a)$\sum_{k=1}^{1008}kC_{2017}^{k}\equiv 0$ (mod $2017^2$ )
b)$\sum_{k=1}^{504}\left ( -1 \right )^kC_{2017}^{k}\equiv 3\left ( 2^{2016}-1 \right )$ (mod $2017^2$ )
Bài 7 . (7,0 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $G$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AC$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACG$ cắt $AB$ tại $F$ ( $E$ và $F$ khác $A$ )
a)Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$ . Chứng minh $AK,BC$ và $OG$ đồng quy
b)Cho $D$ là một điểm thuộc cung $\overbrace{BOC}$ chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ; $GB$ cắt $CD$ tại $M$ . $GC$ cắt $BD$ tại $N$ . Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$ .Chứng minh rằng: khi $G$ thay đổi trên cung BC không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ , đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dinh Xuan Hung: 06-01-2017 - 11:51