Một số bài toán hình học trong các kỳ thi trên thế giới năm 2017
Bài toán 1 (VMO 2017 bài 3). Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân nội tiếp đường tròn $(O)$ .Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $E,F$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$. $AH$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$.
a) Gọi $I$ là trung điểm của $AH$. $EI$ cắt $BD$ tại $M$ và $FI$ cắt $CD$ tại $N$. Chứng minh rằng $MN\perp OH$.
b) Các đường thẳng $DE,DF$ cắt $(O)$ lần lượt tại $P,Q$ khác $D$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AEF$ cắt $(O)$ và $AO$ lần lượt tại $R$ và $S$ khác $A$. Chứng minh rằng $BP,CQ$ và $RS$ đồng quy.
Bài toán 2 (VMO 2017 bài 7). Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và $G$ là một điểm thuộc cung $BC$ không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ ngoại tiếp tam giác $OBC$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABG$ cắt $AC$ tại $E$ , đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACG$ cắt $AB$ tại $F$ với $E,F$ khác $A$.
a) Gọi $K$ là giao điểm của $BE$ và $CF$. Chứng minh $AK,BC$ và $OG$ đồng quy.
b) Cho $D$ là một điểm thuộc cung $\widehat{BC}$ chứa $O$ của đường tròn $(I)$. $GB$ cắt $CD$ tại $M$. $GC$ cắt $BD$ tại $N$. Giả sử $MN$ cắt $(O)$ tại hai điểm $P,Q$. Chứng minh rằng khi $G$ thay đổi trên cung $BC$ không chứa $O$ của đường tròn $(I)$ thì đường tròn ngoại tiếp $GPQ$ luôn đi qua hai điểm cố định.
Bài toán 3 (Hong Kong TST bài 1 Test 1). Cho tam giác $ABC$ với phân giác $AD$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc $AD$ cắt $(ABD)$ tại $E$. Chứng minh rằng $EA$ đi qua tâm ngoại tiếp tam giác $ABC$.
Bài toán 4 (Hong Kong TST bài 2 Test 2). Cho lục giác lồi $ABCDEF$ thỏa mãn $\angle ACE = \angle BDF$ và $\angle BCA = \angle EDF$. Đặt $A_1=AC\cap FB$, $B_1=BD\cap AC$, $C_1=CE\cap BD$, $D_1=DF\cap CE$, $E_1=EA\cap DF$, và $F_1=FB\cap EA$. Giả sử rằng $B_1, C_1, D_1, F_1$ nằm trên đường tròn $\Gamma$. Đường tròn ngoại tiếp các tam giác $\triangle BB_1F_1$ và $ED_1F_1$ cắt nhau tại $F_1$ và $P$. Đường thẳng $F_1P$ cắt $\Gamma$ tại điểm thứ hai $Q$. Chứng minh rằng $B_1D_1$ và $QC_1$ song song.
Bài toán 5 (CHKMO). Cho tam giác $ABC$ nhọn. $D$ thuộc đoạn $BC$ và $I$ là tâm nội tiếp $ABC$. $(ABD)$ cắt $BI$ tại $P$. $(ACD)$ cắt $CI$ tại $Q$. Giả sử rằng hai tam giác $PID$ và $QID$ có diện tích bằng nhau. Chứng minh rằng $PI.QD=QI.PD$.
Bài toán 6 (China MO). Trong tam giác nhọn $ABC$, gọi $\odot O$ là đường tròn ngoại tiếp và $\odot I$ là đường tròn nội tiếp. Tiếp tuyến tại $B,C$ của $\odot O$ cắt nhau tại $L$, $\odot I$ tiếp xúc $BC$ tại $D$. $AY$ vuông góc $BC$ atại$Y$, $AO$ cắt $BC$ tại $X$, và $OI$ cắt $\odot O$ tại $P,Q$. Chứng minh rằng $P,Q,X,Y$ đồng viên khi và chỉ khi $A,D,L$ thẳng hàng.
Bài toán 7 (Slovenia MO). Cho tam giác $ABC$ vuồn tại $B$. $D$ thuộc đoạn $AC$. $(BCD)$ và $(C,CD)$ cắt nhau tại $E$ khác $C$. Đường thẳng qua $A$ song song $DE$ cắt $BC$ tại $F$. $X$ nằm trên $BC$ sao cho $XB=BF$. $(BCD)$ cắt $(AXC)$ tại $Y$ khác $C$. Chứng minh rằng $Y,F,D$ thẳng hàng.
.....
Còn tiếp tục cập nhật
Tài liệu tham khảo
[1] Box 2017 contest từ diễn đàn AoPS.
@Các bạn có thể thảo luận post lời giải của mình cho các bài toán hình học này bằng tiếng Việt. Link tới các bài toán gốc đã có ở đầu mỗi bài toán. Mời các bạn post xây dựng các đề thi hình theo mẫu trên (bôi đậm tên cuộc thi và chèn link gốc của bài toán vào đó).