Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Chứng minh $u_{n}$ hội tụ và tìm giới hạn dãy số


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 tpctnd

tpctnd

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 62 Bài viết

Đã gửi 16-04-2017 - 21:16

Cho $u_{1}=1$
$u_{n+1}=\frac{u_{n}+2}{u_{n}+1}, n=1,2...$
Chứng minh $u_{n}$ hội tụ và tìm giới hạn dãy số


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tpctnd: 16-04-2017 - 21:16


#2 tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Bình
  • Sở thích:Học toán$$\boxed{\heartsuit \prec VMF \succ \heartsuit }$$

Đã gửi 16-04-2017 - 21:56

Theo gt ta luôn có

\[{u_n} > 0\]

Mặt khác: \[{u_{n + 1}} - 1 = \frac{{{u_n} + 2}}{{{u_n} + 1}} - 1 = \frac{1}{{{u_n} + 1}} > 0\]

Đặt: \[f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x + 1}} \Rightarrow {u_{n + 1}} = f\left( {{u_n}} \right);\,\,\left| {f'\left( x \right)} \right| = \frac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} < \frac{1}{4}\]

Giả sử: \[\exists \lim {u_n} = a \Rightarrow a = \frac{{a + 2}}{{a + 1}} \Leftrightarrow a = \sqrt 2 \]

Ta sẽ đi chứng minh: \[{u_n} \to \sqrt 2 \]

Theo Lagrange luôn tồn tại c thỏa mãn:

\[f\left( {{u_n}} \right) - f\left( {\sqrt 2 } \right) = f'\left( c \right)\left( {{u_n} - \sqrt 2 } \right)\]
\[ \Rightarrow \left| {{u_{n + 1}} - \sqrt 2 } \right| = \left| {f'\left( c \right)} \right|\left| {{u_n} - \sqrt 2 } \right| < {\left( {\frac{1}{4}} \right)^n}\left( {{u_1} - \sqrt 2 } \right) \to 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} \to 0 \Rightarrow \lim {u_n} = \sqrt 2 \]

 


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#3 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 17-04-2017 - 15:33

Tham khảo một lời giải kháchttps://diendantoanh...-n/#entry677642


Đời người là một hành trình...





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh