#1
Đã gửi 22-04-2017 - 15:47
#2
Đã gửi 23-04-2017 - 07:57
#3
Đã gửi 01-05-2017 - 23:05
- Ta biến đổi như sau:
$$n! \vdots n^3-1 \Leftrightarrow n.(n-2)! \vdots (n^2+n+1).$$
- Khi đó do $ƯCLN(n,n^2+n+1)=1$ nên bài toán tương đương chứng minh có vô hạn $n \in \mathbb{N^*}$ sao cho:
$$(n-2)! \vdots (n^2+n+1)$$
- Xét $n=2^{2^k}, \forall k \geq 3$, ta nhận thấy rằng:
$$n^2+n+1= 2^{2^{k+1}}+2^{2^k}+1=(2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1).(2^{2^k}+2^{2^{k-1}}+1)=$$$$(2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1).(2^{2^{k-1}}-2^{2^{k-2}}+1)\dots(2^2-2+1).(2^2+2+1).$$
Mà $(n-2)!= (2^{2^k}-2)!$ và do $2^{2^j}-2^{2^{j-1}}+1>2^{2^{j-1}}-2^{2^{j-2}}+1, \forall j \geq 3$, $2^{2^2}-2^2+1 > 2^2+2+1>2^2-2+1$, nên ta chỉ cần chứng minh với $k \geq 3$ thì bắt đẳng thức sau luôn đúng:
$$2^{2^k}-2^{2^{k-1}}+1 \leq n-2=2^{2^k}-2 \Leftrightarrow 2^{2^{k-1}} \geq 3$$
Dễ thấy với $k \geq 3$ thì luôn đúng, từ đó ta suy ra đpcm.
- P.S.: Hướng của mình chủ yếu dựa vào đẳng thức $a^4+a^2+1=(a^2+a+1)(a^2-a+1)$ mà làm quen nhiều bài nên nhớ tới $a=2^{2^k}$ để tách nhân tử được nhiều lần.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tungthdctrmath: 02-05-2017 - 10:58
- Phan Tien Ngoc, Element hero Neos, Zz Isaac Newton Zz và 2 người khác yêu thích
Keep Moving Forward
#4
Đã gửi 02-05-2017 - 08:16
#5
Đã gửi 02-05-2017 - 09:26
Cách làm của bạn gần giống với cách làm của mình, nhưng cách của mình thì dài dòng hơn. Lúc đầu cứ tưởng là dùng số chính phương mod p ai ngờ là nó mũ 3...
- Mình lâu rồi chưa đụng tới số chính phương mod p nên cũng chưa suy nghĩ tới :v. Mà có thể cho mình tham khảo cách làm của bạn được không, tại mình thấy nếu thay $2^{2^k}$ thành $3^{2^k}$ thì cách làm cũng y chang, mà mình thì chưa hiểu sao dài hơn chút thôi :v.
Keep Moving Forward
#6
Đã gửi 02-05-2017 - 10:20
Cách của mình cũng tương tự của bạn thôi, chỉ là mình lập luận với chứng minh kĩ hơn thôi, mà xét $n=2^{2^{k}}$ hay $n=3^{2^{k}}$ thì cũng tương tự nhau. Mà nếu đề bài là $n^{2}+1$ thì dùng số chính phương $mod$ $p$ là chuẩn luôn, nhưng tiếc là mũ $3$...
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bmo, 2017
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh