Ngày 2
Câu 5. Tìm tất cả các bộ số nguyên không âm $(m,n,k)$ thỏa mãn
\[k^2-k+4=5^m(2+10^n)\]
Câu 6. Cho tam giác $ABC$ nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tròn $(O)$. $I$ là tâm nội tiếp của tam giác $ABC$. $AI$ cắt $BC$ tại $D$ và cắt $(O)$ tại $K$ khác $A$. $P$ là một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PK$ cắt $BC$ tại $L$. $AL$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $A$. Giả sử $KF$ cắt $BC$ tại $T$. $Q$ đối xứng $P$ qua $K$. $AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$.
a) Chứng minh rằng $PT$ song song với $KR$.
b) Gọi giao điểm của $AP$ và $(O)$ là $E$ khác $A$. Chứng minh rằng hai tam giác $KEP$ và $KET$ có diện tích bằng nhau.
Câu 7. Giả sử $A=(a_1,a_2,...,a_n)$ gồm các số thuộc tập $M= \lbrace 1,2,...,m \rbrace $ sao cho $a_1+a_2+a_3+...+a_n=2S$ với $S$ là số nguyên chia hết cho mọi phân tử của $M$. Chứng minh rằng người ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$
Câu 6:
Nhận thấy việc chứng minh $PT \parallel KR$ và $QT \parallel KE$ là như nhau (Do vai trò của $P,Q$ là như nhau). Hơn nữa nếu có $QT \parallel KE$ kết hợp với $K$ là trung điểm của $PQ$ thì $KE$ là đường trung bình của tam giác $PQT$ nên suy ra $KE$ đi qua trung điểm $QT$ thì từ đó cũng suy ra phần $b$ của bài toán
Ta chứng minh $QT \parallel KE$ là đủ
Ta có: $\overline{LP}.\overline{LQ}=\overline{LB}.\overline{LC}=\overline{LA}.\overline{LF}$. Từ đó $APFQ$ nội tiếp
Do $BC$ và $(O)$ là ảnh của nhau qua phép nghịch đảo cực $K$ phương tích $KI^2=KP^2=KQ^2$ nên $KQ^2=\overline{KF}.\overline{KT}$
Từ đó $QK$ tiếp xúc $(QTF)$
Ta có: $\widehat{QTK}=\widehat{FQP}=\widehat{FAP}=\widehat{FKE}$. Suy ra $QT \parallel KE$ (đpcm)
(Nếu không gọi ra 2 điểm $T$ và $Q$ thì có thể yêu cầu chứng minh $KE$ là đường đối trung của tam giác $PKF$)
Về bài toán $7$, mình nghĩ nó là biến thể của bài toán sau:
(Tournament of towns) Có một số tấm thẻ mà trên đó điền các số nguyên không vượt quá $n$ sao cho tổng các số ghi trên các tấm thẻ này là $k\cdot n!$. Chứng minh rằng ta có thể chia các tấm thẻ này thành $k$ đống, mỗi đống có tổng các số ghi trên các tấm thẻ đúng bằng $n!$.
Có lẽ bạn nên đăng cả nguồn lẫn lời giải để dễ theo dõi.
Câu 7: Đây là một bài trong đề thi học sinh giỏi tỉnh mình. Chỉ cần $a_1+a_2+a_3+...+a_n \geq 2S$ là đủ chứ không nhất thiết cần đẳng thức.
Sau đây là lời giải của đáp án.
Nếu mỗi số từ $1$ đến $m$ chỉ xuất hiện tối đa $m-2$ lần thì $a_1+a_2+a_3+...+a_n \leq (m-2)(1+2+\ldots+m)<2S$ (mâu thuẫn)
Từ đó trong số các số trong $M$ có một số được xuất hiện ít nhất $m-1$ lần. Giả sử đó là số $a$
Bỏ $m-1$ số $a$ vào tập $C$ và còn lại $n-m+1$ số bỏ vào tập $B$
Nếu $n-m+1<a$ thì $n-m+1<m \Rightarrow n<2m-1$. Suy ra $a_1+a_2+a_3+...+a_n < m(2m-1)<2S$ (Mâu thuẫn)
Suy ra $n-m+1 \geq a$
Trong tập $B$ lấy ra $a$ số bất kỳ
Bổ đề: Cho số nguyên dương $a$ thì trong $a$ số nguyên bất kỳ ta luôn chọn được $1$ số hoặc một số số có tổng chia hết cho $a$ (chứng minh đơn giản bằng Đirichlet)
Áp dụng bổ đề thì trong $a$ số kia chọn được $1$ số hoặc một số số có tổng chia hết cho $a$. Bỏ những số này ra khỏi $B$ và đặt chúng vào tập $T$
Ta tiếp tục làm như trên đến khi tổng các số trong $T$ lớn hơn $S-ma$ lần đầu tiên thì dừng lại
(Do nếu tổng các số trong $T$ nhỏ hơn hoặc bằng $S-ma$ thì tổng các số trong $B$ sẽ lớn hơn hoặc bằng $2S-(m-1)a-(S-ma)=S+a>ma$. Tức là trong $B$ vẫn còn nhiều hơn $a$ số để thực hiện tiếp)
Do đó ta đã xây dựng được tập $T$ có: $\sum T \vdots a$ và $\sum T >S-ma$ ( Ký hiệu $\sum T$ là tổng các phần tử của tập $T$)
Mặt khác $S \vdots a$ nên $\sum T \geq S - (m-1)a$
Ta chứng minh $\sum T \leq S$.
Giả sử $\sum T > S$ thì $\sum T \geq S+a$. Do một lần thực hiện bước chuyển số vào $T$ thì ta chỉ chuyển được tối đa $a$ số vào $T$ nên sau mỗi bước chuyển thì $T$ tăng tối đa là $ma$ (Khi chuyển $a$ số $m$ vào $T$). Do đó nếu không chuyển lần chuyển cuối cùng thì $\sum T \geq S+a-ma=S-(m-1)a>S-ma$ nên ta có điều mâu thuẫn ( Do ta đã giả sử khi dừng lại khi $\sum T >S-ma$ lần đầu tiên)
Do đó ta tìm được tập $T$ mà $S-(m-1)a\leq\sum T\leq S$ và $\sum T \vdots a$
Mặt khác ta có tập $C$ chứa $m-1$ số $a$ nên ta sẽ bổ sung một số số $a$ vào $T$ để $\sum T =S$
Vậy ta có thể chọn từ $A$ một số số có tổng bằng $S$
(Lưu ý là một số bất đẳng thức trong bài trên chỉ đúng từ $m \geq 4$ nên ta cần xét trường hợp $m \leq 3$. Những trường hợp này khá đơn giản)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet nam in my heart: 07-05-2017 - 22:50