CM bổ đề
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geqslant \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ac}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tienduc: 12-05-2017 - 18:58
$\sum \frac{a^{2}}{b} \geq \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ac}$
Bắt đầu bởi Doflamingo, 12-05-2017 - 18:40
#2
Đã gửi 12-05-2017 - 19:11
Mr Cooper
-
- Thành viên
-
- 496 Bài viết
Sĩ quan
Bổ đề quen thuộc của thầy Trần Quốc Anh. Nhân $2$ vế với lượng $ab + bc + ca$
#3
Đã gửi 12-05-2017 - 19:54
Doflamingo
-
- Thành viên
-
- 82 Bài viết
Hạ sĩ
Bổ đề quen thuộc của thầy Trần Quốc Anh. Nhân $2$ vế với lượng $ab + bc + ca$
xem bổ đề của thầy Trần Quốc Anh ở đâu z bạn
#4
Đã gửi 12-05-2017 - 20:50
Nguyenhuyen_AG
-
- Thành viên nổi bật 2016
-
- 945 Bài viết
Trung úy
CM bổ đề
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geqslant \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ac}$
Ta có
\[\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a} - \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca} = \frac{c^2(a^2-bc)^2+a^2(b^2-ca)^2+b^2(c^2-ab)^2}{abc(ab+bc+ca)}.\]
Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport
Ho Chi Minh City University Of Transport
#5
Đã gửi 15-05-2021 - 08:16
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
CM bổ đề
$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\geqslant \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ac}$
Lời giải. Quy đồng bất đẳng thức cần chứng minh, ta thu được:
$a^2b^4+b^2c^4+c^2a^4\geqslant ab^3c^2+a^2bc^3+a^3b^2c$
Áp dụng $\text{AM-GM}$, ta được: $\left\{\begin{matrix}a^2b^4+b^2c^4\geqslant 2ab^3c^2 & \\ b^2c^4+c^2a^4\geqslant 2a^2bc^3 & \\ c^2a^4+a^2b^4\geqslant 2a^3b^2c & \end{matrix}\right.$
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
