Đến nội dung


Hình ảnh

Đề thi IRAN TST 2017 - Phần 1

iran tst 2017

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 493 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 15-05-2017 - 17:15

\[\textbf{IRAN TST 2017}\]

 

 

$\text{Ngày thứ nhất}$

 

Bài 1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương với $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng

\[\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right )\]

Bài 2. Có $13$ học sinh tham gia kỳ thi chọn đội $\text{IMO}$ của một quốc gia. Họ đã làm $6$ bài kiểm tra và điểm đã được công bố. Giả sử không có hai học sinh có điểm bằng nhau ở một bài kiểm tra. Để chọn ra đội tuyển, hội đồng quyết định chọn một hoán vị của $6$ bài kiểm tra và bắt đầu từ bài kiểm tra đầu tiên, ai có điểm cao nhất trong bài này thì được chọn,… Hỏi theo cách này, mọi học sinh đều có thể được chọn? (Đội $\text{IMO}$ sẽ gồm $6$ học sinh).

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Gọi $\omega $ là một đường tròn bất kỳ qua $A,I_a$ và cắt phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$ (kéo dài từ $B,C$) tại $X,Y$ tương ứng. Gọi $S,T$ là các điểm trên các đoạn $I_aB,I_aC$ tương ứng sao cho $\angle AXI_a=\angle BTI_a$ và $\angle AYI_a=\angle CSI_a$. Các đường thẳng $BT,CS$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $KI_a,TS$ cắt nhau tại $Z$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng.

 

$\text{Ngày thứ hai}$

 

Bài 4. Gọi $P_i$ là số nguyên tố thứ $i$. Cho $n_1<n_2< \cdots$ là dãy các số nguyên dương sao cho với mỗi $i=1,2,3,\cdots$, phương trình $x^{n_i} \equiv 2 \pmod {p_i}$ có nghiệm. Liệu các phương trình này có thể có nghiệm chung không?

Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $P,Q$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BP=CQ$ và $P$ nằm giữa $B,Q$. Đường tròn $(APQ)$ cắt các cạnh $AB,AC$ tại $E,F$ tương ứng. Điểm $T$ là giao điểm của $EP$ và $FQ$. Hai đường thẳng đi qua trung điểm của $BC$ và song song với $AB$, $AC$ cắt $EP$ và $FQ$ lần lượt tại $X,Y$. Chứng minh rằng $(TXY)$ tiếp xúc với $(APQ)$.

Bài 6. Trong các ô vuông con của một băng cỡ $1 \times 100$ ta viết một số nguyên dương thuộc $[100]$ sao cho dãy hình thành là dãy tăng từ trái qua phải. Gấp băng này theo dòng chứa nó theo một thứ tự tùy ý và hướng tùy ý cho đến khi sinh ra một băng cỡ $1 \times1$ có $100$ lớp, nhìn từ trên xuống ta sẽ thu được một hoán vị của $[100]$. Chứng minh rằng số các hoán vị hình thành theo cách này nằm giữa $2^{100}$ và $4^{100}$.

 

Người dịch: Nguyễn Trung Tuân


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 17-05-2017 - 21:25


#2 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 387 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 15-05-2017 - 17:42

 

 

Bài 1. Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương với $a+b+c+d=2$. Chứng minh rằng

\[\frac{(a+c)^{2}}{ad+bc}+\frac{(b+d)^{2}}{ac+bd}+4\geq 4\left ( \frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1} \right )\]

 

 

Áp dụng BĐT CS dạng Engel, ta có: $\frac{(a+c)^2}{ad+bc}+\frac{(b+d)^2}{ac+bd}\geq \frac{(a+b+c+d)^2}{(a+b)(c+d)}=\frac{4}{(a+b)(c+d)}$

Ta cần chứng minh: $\frac{4}{(a+b)(c+d)}+4-4(\frac{a+b+1}{c+d+1}+\frac{c+d+1}{a+b+1})\geq 0\Leftrightarrow \frac{3(a+b-c-d)^2}{4(a+b)(c+d)(c+d+1)(a+b+1)}\geq 0$ (đúng)


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#3 Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 493 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Miền cắt trắng
  • Sở thích:$\mathbb{Geometry}$

Đã gửi 15-05-2017 - 20:59

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ với $I_a$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A$. Gọi $\Omega$ là một đường tròn bất kỳ qua $A,I_a$ và cắt phần kéo dài của các cạnh $AB,AC$ (kéo dài từ $B,C$) tại $X,Y$ tương ứng. Gọi $S,T$ là các điểm trên các đoạn $I_aB,I_aC$ tương ứng sao cho $\angle AXI_a=\angle BTI_a$ và $\angle AYI_a=\angle CSI_a$. Các đường thẳng $BT,CS$ cắt nhau tại $K$. Các đường thẳng $KI_a,TS$ cắt nhau tại $Z$. Chứng minh rằng $X,Y,Z$ thẳng hàng.

IRAN TST 2017.png

Dễ thấy $\triangle BXS \sim \triangle BI_aC \sim \triangle TYC \Rightarrow \angle BXS \sim \angle BI_aC \sim \angle TYC = 90^{\circ}-\frac{1}{2} \angle A $

$\Rightarrow  \angle BXS + \frac{1}{2} \angle A = \angle TYC + \frac{1}{2} \angle A = 90^{\circ} \Rightarrow XS \perp AI_a , YT \perp AI_a \Rightarrow XS \parallel YT$ $(1)$

Lấy điểm $E$ trên cạnh $BC$ sao cho $BE=BX$ $\Rightarrow CE=CY$

$\angle KSI_a + \angle KTI_a = \angle AYI_a + \angle AXI_a = 180^{\circ} \Rightarrow SKTI_a$ nội tiếp

$\angle CEI_a = \angle CYI_a = \angle CSI_a \Rightarrow CESI_a$ nội tiếp $\Rightarrow BES = \angle BI_aC = \angle BKS \Rightarrow BEKS$ nội tiếp

$\Rightarrow E$ là điểm $\text{Miquel}$ của tứ giác $SKTI_a$ $\Rightarrow \angle SEZ = \angle TEZ$ $\Rightarrow \frac{SZ}{TZ}=\frac{SE}{TE}=\frac{SX}{TY}$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \triangle XSZ \sim \triangle YTZ\Rightarrow \angle SZX = \angle YZT $

$\Rightarrow X,Y,Z$ thẳng hàng



#4 Namthemaster1234

Namthemaster1234

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 545 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:K45 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:Lịch Sử và Văn Hóa Trung Hoa

Đã gửi 16-05-2017 - 11:05


Bài 5. Cho tam giác $ABC$. Các điểm $P,Q$ nằm trên cạnh $BC$ sao cho $BP=CQ$ và $P$ nằm giữa $B,Q$. Đường tròn $(APQ)$ cắt các cạnh $AB,AC$ tại $E,F$ tương ứng. Điểm $T$ là giao điểm của $EP$ và $FQ$. Hai đường thẳng đi qua trung điểm của $BC$ và song song với $AB$, $AC$ cắt $EP$ và $FQ$ lần lượt tại $X,Y$. Chứng minh rằng $(TXY)$ tiếp xúc với $(APQ)$.

Người dịch: Nguyễn Trung Tuân

 

Gọi $L$ là giao điểm của $AM$ và $(APQ)$.

Chứng minh các ý sau: $LXYT$, $PMLX$ và $MLYQ$ nội tiếp, tam giác $MXY$ đồng dạng với $ACB$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Namthemaster1234: 16-05-2017 - 11:06

Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)

Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56

:icon6: :icon6: :icon6: :icon6: :icon6:


#5 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 89 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 06-06-2017 - 23:40

Bài 5 : Gọi $M,N,R$ là trung điểm $BC,CA,AB$. $AM$ cắt $(APQ)$ tại $R$. Ta có $\angle MYQ = \angle QFC = \angle APQ = \angle MGQ$ nên $G \in (MQY)$, tương tự có $G \in (MPX)$. Khi đó $\angle GYT + \angle GXT = \angle GMP + \angle GMQ = 180 $ nên $G \in (TXY)$. Gọi $MN,MR$ cắt $AQ,AP$ tại $U,V$, bằng Menelaus ta sẽ có $UV \parallel BC$. Ta lại có $\angle MXG = \angle MPG = \angle MAU$ nên $MX.MU = MG.MA = MY.MV \implies UVYX$ nội tiếp 

Khi đó ta có $\angle GXY + \angle MAQ = \angle MXY - \angle MXG + \angle MAQ = \angle MVU - \angle MAQ + \angle MAQ = \angle C =\angle  QGY$ nên $(TXY)$ tiếp xúc $(APQ)$ tại $G$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 06-06-2017 - 23:43






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh