Chủ đề này có 11 trả lời

[Lovemath111]

[ddang00]

Bài 2:

a.đã có tại:https://diendantoanh...ố-chính-phương/

[NHoang1608]

Câu 2 a) Câu này siêu quen.

          b) Ta có $(a^{3}-b^{3}) \vdots p$

                       $\Rightarrow (a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) \vdots p$

                       $\Rightarrow (a-b) \vdots p$ hoặc $(a^{2}+ab+b^{2}) \vdots p$

Dễ thấy $a-b < a < p$ nên vô lí.

Vậy $(a^{2}+ab+b^{2}) \vdots p$

Tương tự $(b^{2}+bc+c^{2}); \vdots p$ $(c^{2}+ca+a^{2}) \vdots p$

Suy ra $(a^{2}+ab+b^{2}- a^{2}-ca-c^{2}) \vdots p$

           $\Rightarrow a(b-c) + (b-c)(b+c) \vdots p$

           $\Rightarrow (a+b+c)(b-c) \vdots p$

           $\Rightarrow (a+b+c) \vdots p$ hoặc $(b-c) \vdots p$

Dễ thấy $b-c<b<p$ nên vô lí.

Suy ra $(a+b+c) \vdots p$

Lại có $a+b+c < 3p$ nên $a+b+c=p$ hoặc $a+b+c=2p$

Xét TH $a+b+c=p$.

Nhớ lại ở phía trên thì ta có $(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}) \vdots p$

                                            $\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+(a+b+c)^{2} \vdots (a+b+c)$

                                            $\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \vdots (a+b+c)$

Mà $p=a+b+c> 3$ cho nên $(a+b+c;3)=1$ suy ra $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \vdots (a+b+c)$

Xét $2p=a+b+c$

Ta có $2(a^{2}+b^{2}+c^{2}+ab+bc+ca+a^{2}+b^{2}+c^{2}) \vdots 2p$

         $\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) + (a+b+c)^{2} \vdots (a+b+c)$

         $\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+c^{2}) \vdots (a+b+c)$

Tương tự trên thì ta cũng có $a^{2}+b^{2}+c^{2} \vdots (a+b+c)$

Điều phải chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NHoang1608: 22-05-2017 - 23:15

[Minhnksc]

Câu hệ

Áp dụng BĐT AM-GM; ta có

$(x+y)^3+\frac{3}{x+y}=(x+y)^3+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}+\frac{1}{x+y}\geq 4$

Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x+y=1$

Từ đó thay $x=1-y$ vào phương trình thứ 2 ta được phương trình mới

Spoiler

sau đó phương trình tiếp theo có thể trục căn; mình cũng không rõ vì mình chưa nháp

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 22-05-2017 - 23:40

[bigway1906]

Câu 1.

a, có thể viết lại như sau: $x^4-6x-1=2(x+4)\sqrt{2x^2(x+4)+6x+1}$

Đặt: $\sqrt{2x^2(x+4)+6x+1} =y^2$. khi đó ta có hệ đối xứng:

$x^4 = 2(x+4)y^2 +6x+1$

$y^4 = 2(x+4)x^2+6x+1$

đến đấy dễ dàng giải được

[Kiratran]

câu b bài hình làm kiểu gì vậy

[Mr Cooper]

Bài 4. 

a) Gọi $J$ là giao điểm của $EH$ và $AI$

$\angle EIC + \angle ACB + \angle IAC = \angle EIC + \angle EIt =  \angle EIC + \angle EHC \Rightarrow \angle ACB + \angle IAC = \angle EHC$ $(1)$

Mà $ \angle ACB +  \angle BAC =  \angle AHC$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \angle IAC = \angle AHE$ hay $ \angle JAE = \angle AHJ$ $\Rightarrow \triangle AJE \sim \triangle HJA \Rightarrow AJ^2 = JE.JH$

$\triangle JIE \sim \triangle JHI \Rightarrow JI^2 = JE.JH$ $\Rightarrow AJ = JI$

b) Chỉ cần chứng minh được $\angle FIG = \angle EIH$. 

Spoiler

Sử dụng bổ đề chứng minh $AG=AH$

 

Spoiler

Sẽ full câu b) sau  

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 23-05-2017 - 23:08

[Kiratran]

phần b bạn có thể nói rõ ra được không

 

Bài 4. 

đề chuyên.png

a) Gọi $J$ là giao điểm của $EH$ và $AI$

$\angle EIC + \angle ACB + \angle IAC = \angle EIC + \angle EIt =  \angle EIC + \angle EHC \Rightarrow \angle ACB + \angle IAC = \angle EHC$ $(1)$

Mà $ \angle ACB +  \angle BAC =  \angle AHC$ $(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$ $\Rightarrow \angle IAC = \angle AHE$ hay $ \angle JAE = \angle AHJ$ $\Rightarrow \triangle AJE \sim \triangle HJA \Rightarrow AJ^2 = JE.JH$

$\triangle JIE \sim \triangle JHI \Rightarrow JI^2 = JE.JH$ $\Rightarrow AJ = JI$

b) Chỉ cần chứng minh được $\angle FIG = \angle EIH$. 

Spoiler

Sử dụng bổ đề chứng minh $AG=AH$

 

Spoiler

Sẽ full câu b) sau  

 

[Hoangminhanh]

Câu 1.
a, có thể viết lại như sau: $x^4-6x-1=2(x+4)\sqrt{2x^2(x+4)+6x+1}$
Đặt: $\sqrt{2x^2(x+4)+6x+1} =y^2$. khi đó ta có hệ đối xứng:
$x^4 = 2(x+4)y^2 +6x+1$
$y^4 = 2(x+4)x^2+6x+1$
đến đấy dễ dàng giải được

[Hoangminhanh]

IMG_1108.JPG

[Hoangminhanh]

Bạn có đáp án không cho mình tham khảo với mình chưa bt làm lắm

[AnhTran2911]

Bài bất nỏ ai ngó, em trình bày luôn:

Đặt $(a,b,c)=(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ ta được $xy+yz+zx=x+y+z$

BĐT cần CM tương đương với : $\sum{x} \geq\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có : $2\sqrt{\frac{x^2+1}{2}}\leq\frac{x^2+1}{x+1}+\frac{x+1}{2}$

Dựa vào đánh giá trên ta quy được về CM :

$x+y+z+\sum{\frac{4x}{x+1}}\geq9$ 

Theo C.S ta có $\sum\frac{x}{x+1}\geq\frac{(x+y+z)^2}{\sum{x^2}+x+y+z}=\frac{(x+y+z)^2}{(x+y+z)^2-(x+y+z)}$

                         $=\frac{x+y+z}{x+y+z-1}$ ( Do $x+y+z=xy+yz+zx$)

Đặt $ t= x+y+z $ thì ta có BĐT $\frac{4t}{t-1}+t\geq9$ ( Hiển nhiên đúng)

Thật vậy BĐT trên tương đương với : $ (t-3)^2\geq 0$. 

                           

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AnhTran2911: 26-05-2017 - 23:14