Chủ đề này có 4 trả lời

[Tinh1100174]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$

[nguyen kd]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$

Áp dụng Công thức diện tích:

$\frac{{(a + b + c)}}{2}\frac{{(a + b - c)}}{2}\frac{{(b + c - a)}}{2}\frac{{(a + c - b)}}{2} = {S^2} = \frac{{{{(abc)}^2}}}{{16{R^2}}}$

$\Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) = \frac{{{{(abc)}^2}}}{{{R^2}(a + b + c)}}$

Do $sinA + sinB + sinC \ge sin2A + sin2B + sin2C = 4\sin A\sin B\sin C$

$\Rightarrow 2{R^3}(sinA + sinB + sinC) \ge 8{R^3}\sin A\sin B\sin C \Rightarrow {R^2}(a + b + c) \ge abc$

$ \Rightarrow (a + b - c)(b + c - a)(a + c - b) \le abc$

[hanguyen445]

Cho $a,b,c$ là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng $(a+b-c)(b+c-a)(a+c-b)\leq abc$

AM-GM:$\begin{cases} (a+b-c)(b+c-a)\le b^2\\(b+c-a)(c+a-b)\le c^2\\(c+a-b)(a+b-c)\le a^2\end{cases}$

Nhân vế suy ra $[(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)]^2\le (abc)^2\iff (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)\le abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hanguyen445: 30-08-2017 - 05:17

[Duy Thai2002]

bđt trên cũng chính là bđt Schur.

[kytrieu]

bạn tham khảo tại đây :https://diendantoanh...-bcbc-aleq-abc/