Cho $n>0$. Chứng minh rằng nếu $ A, B \in Mat(n, \mathbb{R}) $ thỏa mãn $AB-BA=A$ thì $A$ lũy linh.
#2
Posted 12-10-2017 - 21:50
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 posts
Thiếu úy
Cho $n>0$. Chứng minh rằng nếu $ A, B \in Mat(n, \mathbb{R}) $ thỏa mãn $AB-BA=A$ thì $A$ lũy linh.
Từ giả thiết ta suy ra với mọi $m\in \mathbb{Z}^{+}$ thì $$A^{m}=A^{m}B-A^{m-1}BA=AA^{m-1}B-A^{m-1}BA$$ Ta biết rằng $tr(CD)-tr(DC)=0$ với mọi ma trận vuông $C$, $D$ cấp $n$ nên áp dụng điều này cho $C=A^{m-1}B$, $D=A$ ta suy ra $tr(A^{m})=0$ với mọi $m\in \mathbb{Z}^{+}$. Vì thế theo kết quả ở đây: https://diendantoanh...-trận-lũy-linh/ thì $A$ lũy linh.
- chuyentoan1998 likes this
"Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine." (M. Atiyah)
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users
