Ủng hộ Topic một bài phương trình hàm.
Bài 13: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn: $f(xf(y)+f(x))=2f(x)+xy, \forall x, y\in \mathbb{R}.$
Bài này đã từng được đăng ở diễn đàn. Xin được trích dẫn lời giải:
Cố định $x$ trong $(1)$ dễ dàng suy ra được $f$ song ánh. Do đó tồn tại $b$ để $f(b)=0$. Đặt $f(0)=a$.
Trong $(1)$ cho $x=b,y=0$ :
$$f(ab)=0=f(b)\Rightarrow ab=b$$
Suy ra $a=1$ hoặc $b=0$.
1) Trường hợp 1 : Nếu $b=0$ tức $f(0)=0$
Thì trong $(1)$ thay $y=0$ :
$$f(f(x))=2f(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=2x,\;\forall x\in \mathbb{R}$$
Thử lại không thỏa.
2) Trường hợp 2 : Nếu $a=1$ tức $f(0)=1$.
Trong $(1)$ cho $x=y=b$ được $b^2=a=1$ nên $b\in \left \{ 1,-1 \right \}$.
- Nếu $b=1$ tức $f(1)=0$ thì trong $(1)$ lấy $x=1$ được :
$$f(f(y))=y,\;\forall y\in \mathbb{R}$$
Trong $(1)$ cho $y=1$ :
$$f(f(x))=2f(x)+x=2f(x)+f(f(x)),\;\forall x\in \mathbb{R}\Rightarrow f(x)=0,\;\forall x\in \mathbb{R}$$
Thử lại không thỏa.
- Nếu $b=-1$ tức $f(-1)=0$. Trong $(1)$ cho $x=-1$ :
$$f(-f(y))=-y,\;\forall y\in \mathbb{R}\;\;\;(*)$$
Trong $(1)$ cho $y=-1$ :
$$f(f(x))=2f(x)-x,\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;(2)$$
Trong $(2)$ thay $x$ bởi $-f(x)$ và sử dụng $(*)$ :
$$f(f(-f(x)))=2f(-f(x))-f(x),\;\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow f(-x)=f(x)-2x,\;\forall x\in \mathbb{R}\;\;\;\;(3)$$
Trước tiên ta sẽ tìm hàm $f:\mathbb{R}^+\rightarrow \mathbb{R}^+$ và thỏa mãn $(2)$.
Với mỗi $x\in \mathbb{R}^+$ ta xây dựng dãy $(u_n)$ :
$$u_0=x,u_1=f(x),u_n=f_n(x)$$
Khi đó từ $(2)$ ta suy ra :
$$u_{n}=2u_{n-1}-u_{n-2}$$
Phương trình sai phân của dãy $(u_n)$ là $t^2-2t+1=0$ có nghiệm kép $t=1$. Suy ra $(u_n)$ có dạng :
$$u_n=\left ( \alpha +n\beta \right ).1^n=\alpha +n\beta$$
Với $u_0=x,u_1=f(x)$ thì ta được :
$$\left\{\begin{matrix} x=\alpha \\ f(x)=\alpha +\beta \end{matrix}\right.$$
Suy ra được :
$$f(x)=x+\beta ,\;\forall x\in \mathbb{R}^+$$
Thay vào phương trình hàm ban đầu được $\beta =1$. Tức là $f(x)=x+1 ,\;\forall x\in \mathbb{R}^+$
Kết hợp với $(3)$ :
$$f(-x)=f(x)-2x=x+1-2x=-x+1,\;\forall x\in \mathbb{R}^+$$
Mặt khác cũng có $f(0)=1$ nên ta kết luận được :
$$f(x)=x+1,\;\forall x\in \mathbb{R}$$
Thử lại thỏa mãn.
Đáp số : Có duy nhất một hàm số thỏa mãn đề bài là :
$$f(x)=x+1,\;\forall x\in \mathbb{R}$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 13-11-2017 - 17:46