Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kar Kar: 03-01-2018 - 22:14
[Lớp 9]Bất đẳng thức
#1
Đã gửi 03-01-2018 - 22:13
- Tea Coffee yêu thích
#2
Đã gửi 03-01-2018 - 22:34
2.
Có: $3(a^2+b^2+c^2)=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)=a^3+b^3+c^3+a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a+c^2b$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)=(a^3+b^2a)+(b^3+c^2b)+(c^3+a^2c)+a^2b+b^2c+c^2a$
$\Rightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 3(a^2b+b^2c+c^2a)$
$A \geq a^2+b^2+c^2+\frac{9-(a^2+b^2+c^2)}{2(a^2+b^2+c^2)}$
Đặt: $a^2+b^2+c^2=t \Rightarrow 3t\geq (a+b+c)^2=9\Rightarrow t\geq 3$
$A\geq t+\frac{9-t}{2t}=t+\frac{9}{2t}-\frac{1}{2}=(\frac{t}{2}+\frac{9}{2t})+\frac{t}{2}-\frac{1}{2}\geq 4$
GTNN của A là 4 <=> a=b=c=1
"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy.
If I am happy, I do mathematics to keep happy"
---Alfréd Rényi---
#3
Đã gửi 03-01-2018 - 23:09
4.
Cho a,b,c>0 và a+b+c=1. Tìm max$A=a^{2}+b^{2}+c^{2} +2\sqrt{3abc}$5.Cho a,b,c>0.Tìm min$A=\frac{ab+bc+ac}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}+\frac{(a+b+c)^{3}}{abc}$
4. $A=(a+b+c)^2+2(\sqrt{3abc(a+b+c)}-ab-bc-ca) \leq (a+b+c)^2=1$
5. https://diendantoanh...2c2fracabc3abc/
- DOTOANNANG và Kar Kar thích
#4
Đã gửi 03-01-2018 - 23:23
3.
Cho $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})=10$Tìm min$A=(a^{2}+b^{2}+c^{2})(\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}})$
Từ điều kiện: $\sum (\frac{a}{b}+\frac{b}{a})=7$.
Đặt $x=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2, y=\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-2, z=\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-2$, ta được $x+y+z=1$, $x,y,z \geq 0$ và giả sử $x=min{x,y,z}$.
$$A=3+\sum (\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2})=(x+2)^2+(y+2)^2+(z+2)^2-3=x^2+y^2+z^2+4(x+y+z)+9$$
$$=x^2+y^2+z^2+13$$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 04-01-2018 - 11:14
- DOTOANNANG và Kar Kar thích
#5
Đã gửi 05-01-2018 - 13:46
1.Cho a,b,c và $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ . Tìm max,minA= $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$
$A=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$A^2=(1+2(ab+bc+ca))(1-(ab+bc+ca))^2$
Đặt $ab+bc+ca=x$
$A^2-1=(1+2x)(1-x)^2-1=2x^3-3x^2=x^2(2x-3) \leq 0$ vì $x \geq a^2+b^2+c^2=1$.
Do đó $-1 \leq A \leq 1$.
Vậy min $A=-1$ khi $(a,b,c)=(0,0,-1)$ và các hoán vị
Max $A=1$ khi $(a,b,c)=(0,0,1)$ và các hoán vị
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmtuan2001: 05-01-2018 - 13:47
- DOTOANNANG và Kar Kar thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: cực trị, toán9, toán 9, toán lớp 9, học sinh giỏi, bất đẳng thức
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTNN của biểu thức $N= 6 - 3a - 4b + 2ab$Bắt đầu bởi Phuockq, 10-04-2024 cực trị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum \frac{a_1{}}{({a_1+{a_2+...+a_n{}{}}{}})-{a_1{}}}\geq \frac{n}{n-1}$Bắt đầu bởi Khanh12321, 14-02-2024 bất đẳng thức |
|
|||
|
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+3 \ge 2(a+b+c)$Bắt đầu bởi POQ123, 26-01-2024 bất đẳng thức |
|
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh