Cho dãy số $a_{n}$ xác định bởi $\left\{\begin{matrix} u_1=1 & \\ u_{n+1}=u_n^2+(1-2a)u_n+a^2& \end{matrix}\right.$. Xác định các giá trị của a và b để dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Chẳng nhớ bài này đã xuất hiện ở chỗ nào trên VMF.
Vài nhận xét:
1/ Dãy tăng,
2/ Giới hạn nếu có của dãy là $a$.
Giới hạn của dãy tăng chính là một chặn trên của dãy. Do đó, ta thử ràng buộc $u_2 \le a$ hay $(b-ạ)^2\le a-b$. Do đó $0\le a-b\le1$.
Với $a, b$ thỏa $0\le a-b\le 1.$
Đặt $f(x)=x+(x-a)^2.$ Nhận xét: Nếu $x\in [b,a]$ thì $f(x)\in [b,a].$
Do đó,bằng phương pháp quy nạp, ta có $u_n \le a \forall n\in \mathbb{N}.$
Kết hợp với 1/, ta suy ra dãy $\{u_n\}$ hội tụ và dễ dàng kiểm tra dãy hội tụ về $a.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi An Infinitesimal: 11-01-2018 - 22:46