SỞ GD & ĐT HÀ GIANG KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
---- o0o ---- LỚP 9 NĂM HỌC 2017-2018
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: a) Cho $x=\sqrt{4+\sqrt{7}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}$. Tính $A=\left ( x^{4}-x^{3}-x^{2}+2x-1 \right )^{2017}$
b) Cho a, b, c là các số hữu tỉ đôi một khác nhau.
Chứng minh rằng $A=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}$ là bình phương của một số hữu tỉ
Câu 2: a) Giải phương trình $\frac{2x}{2x^{2}-5x+3}+\frac{13x}{2x^{2}+x+3}=6$
b) Cho $P(x)=x^{2}+ax+b$ với a, b Î N. Biết P(1) = 2017. Tính $P(3)+P(-1)$
Câu 3: Tìm các số nguyên dương n sao cho $n^{4}+n^{3}+1$ là số chính phương
Câu 4: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng $\frac{b^{2}+c^{2}}{a}+\frac{c^{2}+a^{2}}{b}+\frac{a^{2}+b^{2}}{c}\geq 2(a+b+c)$
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kì trên đoạn AD (M khác A, D). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M xuống các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N xuống đường thẳng PD
a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH
b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh rằng ba điểm H, N, I thẳng hàng