tìm m để phương tình sau có 4 nghiệm phân biệt:
2(x2 +3mx +2m2 )=x4 +x3
#1
Posted 13-04-2019 - 21:43
#2
Posted 14-04-2019 - 19:02
$$x^{\,4}+ x^{\,3}- 2(\,x^{\,2}+ 3\,mx+ 2\,m^{\,2})= 0$$
Để phương trình trên có nghiệm thì không thể xảy ra bất phương trình$:$ $$x^{\,4}+ x^{\,3}- 2(\,x^{\,2}+ 3\,mx+ 2\,m^{\,2})\geqq 0$$
Do đó$:$
$$\text{Discriminant}\left [ x^{\,4}+ x^{\,3}- 2(\,x^{\,2}+ 3\,mx+ 2\,m^{\,2}),\,x \right ]> 0$$
ở đây$:$ $\text{Discriminant}\left [ f(\,x\,),\,x \right ]$ là biệt thức theo $x$ của đa thức $f(\,x\,)$$.$
$$\Leftrightarrow (\,3- 8\,m\,)^{\,2}m^{\,2}(\,2\,m- 1\,)(\,8\,m+ 1\,)< 0\Leftrightarrow (\,3- 8\,m\,)^{\,2}(\,2\,m- 1\,)< 0$$
Vì thế nên xảy ra $3$ trường hợp$:$
$$\begin{equation}\begin{split} -\,\frac{1}{8} &< m &< 0 \\ 0 &< m &< \frac{3}{8} \\ \frac{3}{8} &< m &< \frac{1}{2}\end{split}\end{equation}$$
Và $3$ trường hợp này đều là đáp số cần tìm vì hệ số của $x^{\,0}$$:$ $\text{Coefficient}\left [ f(\,x\,),\,x^{\,0} \right ]= -4\,m^{\,2}$ nên phải có ít nhất một trường hợp cho$:$ $m< 0$$.$ Giờ thì ta để ý tiếp$:$ $\text{Coefficient}\left [ f(\,x\,),\,x^{\,2} \right ]= -6\,m$$.$ Do đó khi rút nhân tử$:$ $(\,x^{\,2}+ ax+ b\,)(\,x^{\,2}+ cx+ d\,)= 0$$.$ Ở đây$,$ không mất tính tổng quát$:$ $b< 0$$.$ Thì giả sử khi đó$:$ $x^{\,2}+ cx+ d> 0\Leftrightarrow c^{\,2}< 4\,d$ với $c= km(\,k= constant\,)$$.$ Chắc chắn là dù $c> 0$ hay $c< 0$ thì phải có một nghiệm cùng dấu hoặc khác dấu với $c$$($vì ta chưa xác định dấu của $k$$)$$.$ Phương trình có $3$ nghiệm nên cũng có $4$ nghiệm thỏa các $m$ trên$.$$($@nganmai nếu giải được bằng hàm cũng có thể trực tiếp post lên $)$$.$
- thanhdatqv2003 and tthnew like this
Also tagged with one or more of these keywords: đại số
|
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tài liệu đại số cho Olympic sinh viênStarted by dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, tài liệu and 2 more... |
|
||
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNStarted by dungbruhbruh12345, 20-05-2024 đại số, chuyên đề, tài liệu and 3 more... |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $A =\frac{2x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}}{x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}}$Started by aZO, 15-05-2024 đại số |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a^2 + b^2 + 1 = c!$Started by Khanh369, 08-05-2024 đại số, giai thừa |
|
|||
Answered
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
CMR: $\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$Started by Duc3290, 01-05-2024 biến đổi đại số, phân thức and 1 more... |
|
1 user(s) are reading this topic
0 members, 1 guests, 0 anonymous users