$ x^{10}+y^{10}=z^{10}+199$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-09-2012 - 07:43
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 13-09-2012 - 07:43
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bdtilove: 14-09-2012 - 18:20
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi diepviennhi: 14-09-2012 - 19:45
Sai bét bạn ạ, bạn nhầm rồi phương trình $a^2+b^2=c^2+199$ luôn có nghiệm nguyên, thậm chí vô số nghiệmKhông biết cách làm của mình có đúng không!! Mình chỉ mới học về phương trình nghiệm nguyên đây thôi!!!
Đặt $ a=x^5 $, $ b=y^5 $, và $ c=z^5 $. Viết lại phương trình đã cho thành:
$ a^2+b^2=c^2+199 $ nhưng phương trình này vô nghiệm nguyên thật vậy!! Ta có thể dễ dáng chứng minh rằng $ a^2 :4 $ có số dư là 0 hoặc 1 vậy $ a^2+b^2 : 4 $ có số dư là 0, 1 hoặc 2 trong khi vế phải ta có $ 199+z^2 : 2 $ có số dư là 3 hoặc 4.......
Vậy phương trình: $ x^{10}+y^{10}=z^{10}+199 $ không có nghiệm nguyên!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 14-09-2012 - 19:47
Thật không? Hình như bạn sai rồi kìa!!? Sao mình thay $ t $ mà không nhận được gì hết vậy?? Kiểm tra lại nha bạn!! Việc đặt $ a=x^5 $ cũng đã đòi hỏi nhiều kiến thức và chia nhỏ nhiều trường hợp lắm!! (Mình chỉ mới học số học thôi!! các bạn thông cảm cho )Sai bét bạn ạ, bạn nhầm rồi phương trình $a^2+b^2=c^2+199$ luôn có nghiệm nguyên, thậm chí vô số nghiệm
Thật vậy cho $c=b+1$
Khi đó $a^2+b^2=(b+1)^2+199 \Rightarrow a^2=2(b+100) \Rightarrow a=2t \Rightarrow 2t^2=b+100$
Suy ra $2t^2-100=b$
Do đó phương trình vô số nghiệm dạng $(t,2t^2-100,2t^2-100+1)$
Đó cũng đủ để thấy bài bạn làm đã sai, hơn nữa đề bài là lũy thừa $10$ vậy nên bài này quả thực khó, thậm chí chắc chắn rằng không thể giải bằng phương pháp sơ cấp, mà phải giải bằng phương trình eliptic, một trung những kiến thức giải Fermat lớn, tất cả các bạn trên đều làm sai.
Cái này mình biết!! Nhưng trên thực tế phương trình gốc vốn không có nghiệm nguyên rồi!! $ (a,b,c)=(10,10,1) $ cũng có nghiệm nhưng mà $ x=\sqrt[5]{10} $ thì đâu có nguyên!!! Để mình suy nghĩ về đk ràng buộc khi đổi biến xem sao!!Bài của nguyenta98 làm đúng rồi mà.từ $a^{2}=4t^{2}=2(b+100)$ ta tìm dc b. còn giái trị của t chỉ là 1 ẩn số thôi
bạn phải cho t các giái trị chứ
Đúng là như vậy, ở trên mình chỉ chỉ ra lỗi sai ở bài bạn mà thôi, và mình cảnh báo luôn bài này để ở đây là không hề đúng, nó tới bậc 10, nếu là bậc 2 thì vô số nghiệm như mình trình bày trên, và từ bậc 5 trở lên ta biết là không có cách giải căn thức tổng quát (Galois cm) hơn nữa ở phương trình này lại bậc 10, và lại có cả hệ số tự do là $199$ thì đúng là khó, có thể không thể giải theo sơ cấp, hơn nữa mình cũng nhắc luôn các bạn, lần sau khi post bài, vui lòng bạn hãy kiểm tra kĩ đề, nguồn gốc, nếu là bài tự chế ra thì phải ghi rõ, vì mình thấy có một số bài rất là vô lí và gần như được khẳng định là bịa ra, có những bài mình đã nghĩ từ lâu không ra, sang bên Mathlink mà họ cũng không giải được? Người làm toán rất khó chịu khi có những đề không đúng hoặc bịa ra, bạn nên nhớ khi bịa ra một bài toán người ta phải thử xem nó có giải được không, bằng kiến thức gì, chứ nếu bịa ra mà phải giải bằng cao cấp thì ghê quá và không phù hợp với box này là số học THCSCái này mình biết!! Nhưng trên thực tế phương trình gốc vốn không có nghiệm nguyên rồi!! $ (a,b,c)=(10,10,1) $ cũng có nghiệm nhưng mà $ x=\sqrt[5]{10} $ thì đâu có nguyên!!! Để mình suy nghĩ về đk ràng buộc khi đổi biến xem sao!!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 17-09-2012 - 07:20
Bài này chứng minh sai rồi !Đặt $a=x^{5},b=y^{5},c=z^{5}$, phương trình có dạng: $a^{2}+b^{2}=199+c^{2}$
Với mọi số nguyên a ta có:$a=2k,k\epsilon Z\Rightarrow a^{2}=4k^{2}\Rightarrow a\vdots 4\Rightarrow a\equiv 0(mod4)$
$a=2k+1,k\epsilon Z\Rightarrow a^{2}-1=4k(k+1)\vdots 4\Rightarrow a^{2}\equiv 1(mod4)$
Vậy với mọi số nguyên a ta luôn có $a^{2}\equiv 0,1(mod4)$
Tương tự với b và c.
$a^{2}+b^{2}\equiv 0,1,2(mod4),199\doteq 3(mod4)\Rightarrow c^{2}+199\equiv 3(mod4)$
Do đó vế trái và vế phải có số dư khác nhau khi chia cho 4 nên phương trình đã cho không có nghiệm nguyên
Bài toán có thể chứng minh kết quả mạnh hơn bằng phương pháp tương tự
Chứng minh phương trình $x^{2k}+y^{2k}=z^{2k}+p,(p=4m+3)$
Đặt $x^{k}=t$ bài toán quy về cách chứng minh như trên
không biết mình làm thế này có sai hay không nhưng theo mình biết thì hình như các bạn đã sai khi nói phương trình này không giải được bằng phương pháp sơ cấp
Đầu tiên mình sẽ chứng minh bổ đề sau:
-Nếu n là số chính phương lẻ thì luôn tồn tại số nguyên m để n=$\left ( 2m+1 \right )^{2}$ $\left ( 2m+1 \right )^{2}\Rightarrow n-1=4m\left ( m+1 \right )$ chia hết cho 8 nên n$\equiv 1$$\equiv 1\left ( mod8 \right )$
-Nếu n là số chính phương chẵn thì luôn tồn tại số nguyên m để n=$\left ( 2m \right )^{2}= 4m^{2}\equiv 0\left ( mod4 \right )$
-Nếu m là số chẵn thì $4m^{2}\equiv 0 \left ( mod8 \right )$
-Nếu m là số lẻ thì $m^{2}\equiv 1\left ( mod8 \right )$ nên $4m^{2}\equiv 4\left ( mod8 \right )$
Sử dụng kết quả trên: Đặt $x^{5}=a$ , $y^{5}=b$ , $z^{5}=c$
Giả sử tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho: $a^{2}+b^{2}-c^{2}=199$
Suy ra: có 2 trường hợp xảy ra một là a,b,c cùng lẻ hoặc một trong 3 số a,b,c có đúng một số lẻ.
+ Nếu a,b,c cùng lẻ thì $a^{2}+b^{2}-c^{2}\equiv 1\left ( mod8 \right )\Rightarrow 199\equiv 1\left ( mod8 \right )$, vô lí
+ Nếu một trong 3 số a,b,c có đúng một số lẻ thì $a^{2}+b^{2}-c^{2}\equiv -1\left ( mod4 \right )\Rightarrow 199\equiv -1\left ( mod4 \right )$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi suchica: 10-08-2013 - 16:03
không biết mình làm thế này có sai hay không nhưng theo mình biết thì hình như các bạn đã sai khi nói phương trình này không giải được bằng phương pháp sơ cấp
Đầu tiên mình sẽ chứng minh bổ đề sau:
-Nếu n là số chính phương lẻ thì luôn tồn tại số nguyên m để n=$\left ( 2m+1 \right )^{2}$ $\left ( 2m+1 \right )^{2}\Rightarrow n-1=4m\left ( m+1 \right )$ chia hết cho 8 nên n$\equiv 1$$\equiv 1\left ( mod8 \right )$
-Nếu n là số chính phương chẵn thì luôn tồn tại số nguyên m để n=$\left ( 2m \right )^{2}= 4m^{2}\equiv 0\left ( mod4 \right )$
-Nếu m là số chẵn thì $4m^{2}\equiv 0 \left ( mod8 \right )$
-Nếu m là số lẻ thì $m^{2}\equiv 1\left ( mod8 \right )$ nên $4m^{2}\equiv 4\left ( mod8 \right )$
Sử dụng kết quả trên: Đặt $x^{5}=a$ , $y^{5}=b$ , $z^{5}=c$
Giả sử tồn tại các số nguyên a,b,c sao cho: $a^{2}+b^{2}-c^{2}=199$
Suy ra: có 2 trường hợp xảy ra một là a,b,c cùng lẻ hoặc một trong 3 số a,b,c có đúng một số lẻ.
+ Nếu a,b,c cùng lẻ thì $a^{2}+b^{2}-c^{2}\equiv 1\left ( mod8 \right )\Rightarrow 199\equiv 1\left ( mod8 \right )$, vô lí
+ Nếu một trong 3 số a,b,c có đúng một số lẻ thì $a^{2}+b^{2}-c^{2}\equiv -1\left ( mod4 \right )\Rightarrow 199\equiv -1\left ( mod4 \right )$
chắc là ko giải được hihi
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh