Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cauchy-Schwarz


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 176 trả lời

#1 lãng tử

lãng tử

    8C_HN-Ams

  • Thành viên
  • 576 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ở một nơi nào đó... trên thế giới này

Đã gửi 12-04-2007 - 22:40

- Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy-Schwarz có dạng như sau:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta luôn có bất đẳng thức sau:
$(a_{1}^2+a_{2}^2+...+ a_{m}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2+...+b_{m}^2) \geq (a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+...+a_{m}b_{m})^2$
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\dfrac{a_{1}}{b_{1}}= \dfrac{a_{2}}{b_{2}}=...= \dfrac{a_{m}}{b_{m}}$
- Nó cũng có một số hệ quả:
1, Bất đẳng thức Schwarz:
Với hai dãy số thực $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $(b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ sao cho $b_{i} \geq 0$ ta luôn có bất đẳng thức:
$\dfrac{a_{1}^2}{b_{1}}+ \dfrac{a_{2}^2}{b_{2}}+...+ \dfrac{a_{m}^2}{b_{m}} \geq \dfrac{(a_{1}+a_{2}+...+a_{m})^2}{b_{1}+b_{2}+...+b_{m}}$
2, Bất đẳng thức Minkovsky:
Với 2 dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ và $\Large (b_{1}, b_{2}, ..., b_{m})$ ta có:
$\Large \sum\limits_{i=1}^{m} \sqrt{a_{i}^2+b_{i}^2} \geq \sqrt{(\sum\limits_{i=1}^{m} a_{i})^2+(\sum\limits_{i=1}^{m} b_{i})^2}$
3, Với mọi dãy số thực $\Large (a_{1}, a_{2}, ..., a_{m})$ ta có:
$\Large (a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m})^2 \leq n(a_{1}^2+a_{2}^2+...+a_{m}^2)$
- Đây là một bất đẳng thức rất thông dụng với các bạn THCS và hay được dùng trong các kì thi.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng:
1)Cho $|x|<1$ và $|y|<1$. CMR:
$\dfrac{1}{1-x^2}+ \dfrac{1}{1-y^2} \geq \dfrac{2}{1-xy}$
2)CM bất đẳng thức sau với $x$ là số thực không âm:
$\dfrac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{x+1}}+ \sqrt{x} \leq \sqrt{x+9}$
3) $a,b,c >0$. CMR: $abc(a+b+c) \leq a^3b+b^3c+c^3a$
4)CMR:
$\sqrt{abc}+ \sqrt{(1-a)(1-b)(1-c)} <1 $
với mọi $a,b,c \in (0;1)$
5)Tìm min:
$\sum \limits_{i=1}^{n} (x_{i}+ \dfrac{1}{x_{i}})^2$
với $\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}=1$


p/s: Mong các mod giúp đỡ thêm về phần bài tập để topic không bị rơi vào "quên lãng" :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:30
Latex

But only love can say-try again or walk away...But I believe for you and me...The sun will shine one day...So I'll just play my part...And pray you'll have a change of heart...But I can't make you see it through...That's something only love can do

Diễn đàn toán thpt: http://toanthpt.net/forum

Toán THCS: http://www.toanthpt....isplay.php?f=13

#2 Sk8ter-boi

Sk8ter-boi

    (~.~)rubby(^.^)

  • Thành viên
  • 427 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:raffles-singapore
  • Sở thích:abc....abc xyz &gt;.&lt;

Đã gửi 12-04-2007 - 23:31

ấn tượng mãi cái bài của bác LEE hojoo
$a,b,c>0$cm
$\sum\limits_{cyc} \sqrt{a^4+a^2b^2+b^4} \geq \sum\limits_{cyc} a\sqrt{2a^2+bc}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:31
Latex

i love 9C -- i luv u :x .... we'll never fall apart , but shine forever

9C - HN ams

#3 lãng tử

lãng tử

    8C_HN-Ams

  • Thành viên
  • 576 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ở một nơi nào đó... trên thế giới này

Đã gửi 13-04-2007 - 08:56

- Tiếp theo là một kĩ thuật cũng rất quan trọng trong việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz là kĩ thuật chọn điểm rơi trong Cauchy- Schwarz (trích quyển 'Sai lầm...' của thầy Phương)
Bài toán: Cho các số dương $a,b,c$ thỏa mãn: $a+b+c \geq 6$. Tìm min:
$S= \sum \sqrt{a^2+ \dfrac{1}{b^2}}$
-Sai lầm thường gặp:
$S \geq 3 \sqrt[6]{\prod (a^2+\dfrac{1}{b^2})} \geq 3. \sqrt[6]{8}=3 \sqrt{2}$
-Nguyên nhân:
$Min S=3 \sqrt{2} \Leftrightarrow a=b=c= \dfrac{1}{a}= \dfrac{1}{b}= \dfrac{1}{c}=1 \Rightarrow a+b+c=3<6$ (vô lí)
-Phân tích:
Ta có thể sử dụng bđt Cauchy-Schwarz cho 2 số:
$\sqrt{(a_{1}^2+a_{2}^2)(b_{1}^2+b_{2}^2)} \geq a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}$
để phá bỏ dấu căn thức
Do đó ta sẽ phải tìm $\alpha$ và $\beta$ sao cho:
$a^2+ \dfrac{1}{b^2} = \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(a^2+ \dfrac{1}{b^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(a \alpha+ \dfrac{\beta}{b}) (1)$
$b^2+ \dfrac{1}{c^2} = \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(b^2+ \dfrac{1}{c^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(b \alpha+ \dfrac{\beta}{c}) (2)$
$c^2+ \dfrac{1}{a^2}= \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}} \sqrt{(c^2+ \dfrac{1}{a^2})(\alpha^2+ \beta^2)} \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}(c \alpha+ \dfrac{\beta}{a}) (3)$
Cộng lại ta đc: $S \geq \dfrac{1}{\sqrt{\alpha^2+ \beta^2}}[ \alpha(a+b+c)+ \beta(\dfrac{1}{a}+ \dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c})]=S_{0}$
Do $S$ là một biểu thức đối xứng nên ta dự $S=S_{0}$ tại điểm rơi $a=b=c=2$ và đẳng thức phải xảy ra đồng thời tại các BĐT $(1), (2)$ và $(3)$.
Ta có sơ đồ điểm rơi sau:
$a=b=c=2 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\dfrac{a}{\alpha}=\dfrac{1}{\beta b}\\\dfrac{b}{\alpha}=\dfrac{1}{\beta c}\\\dfrac{c}{\alpha}=\dfrac{1}{\beta a}\end{array}\right. \Leftrightarrow \dfrac{\alpha}{\beta}= \dfrac{a}{\dfrac{1}{a}}= \dfrac{b}{\dfrac{1}{b}}= \dfrac{c}{\dfrac{1}{c}}= \dfrac{4}{1} \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\alpha =4\\\beta =1\end{array}\right. $
Từ đó ta dễ dàng tìm được lời giải đúng :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 18-08-2011 - 21:54

But only love can say-try again or walk away...But I believe for you and me...The sun will shine one day...So I'll just play my part...And pray you'll have a change of heart...But I can't make you see it through...That's something only love can do

Diễn đàn toán thpt: http://toanthpt.net/forum

Toán THCS: http://www.toanthpt....isplay.php?f=13

#4 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 13-04-2007 - 13:35

Anh giải nha:
4) $VT \leq \large\sqrt[3]{abc}+\sqrt[3]{(1-a)(1-b)(1-c)} $ (Đến đây Cauchy là ra)
5)$VT \geq \large\dfrac{(x_1+x_2+...+x_n+\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n})^2}{n}$
Và $\large\(x_1+x_2+...+x_n)(\dfrac{1}{x_1}+\dfrac{1}{x_2}+...+\dfrac{1}{x_n}) \geq n^2 $
Bài của Hoojee Lee:
Ta có $\large\sqrt{a^4+(ab)^2+b^4} \geq \dfrac{\sqrt3}{2}(a^2+b^2} $
$ \large\ VT^2 \geq \3(a^2+b^2+c^2}^2 $
$\large\ VP^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ac) \leq 3(a^2+b^2+c^2)^2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Hữu Bảo Chung: 18-08-2011 - 21:56


#5 dtdong91

dtdong91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1791 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K35-THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An
  • Sở thích:đá bóng ,làm toán ,đọc sách

Đã gửi 13-04-2007 - 14:26

Bài 1 hơi dễ chút xíu nhưng cauchy thì sao nhỉ
Nếu x,y trái dấu => dpcm
Nếu x,y cùng dấu, biến đổi BDT thành $ (x-y)^2(xy+1) \ge 0$
bài 2 cũng dễ dễ làm luôn dzậy :D
đưa về c/m $ 2\sqrt{2}(\sqrt{x+9}+\sqrt{x}) \leq 9\sqrt{x+1}$
$\Leftrightarrow 8(\sqrt{x+9}+\sqrt{x})^2 \leq 8(1+\dfrac{1}{8})(x+9+8x)=81(x+1)$
=> dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:42

12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN

#6 lãng tử

lãng tử

    8C_HN-Ams

  • Thành viên
  • 576 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ở một nơi nào đó... trên thế giới này

Đã gửi 13-04-2007 - 20:33

Thêm vài bài nữa:
6)Tìm min: $M= \dfrac{ab^2+bc^2+ca^2}{(ab+bc+ca)^2}$
7)Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=6$. Tìm min: $S= \sum \sqrt{a^2+ \dfrac{1}{b+c}}$
8)Cho các số thực ko âm $a,b,c$ thỏa mãn: $a^2+b^2+c^2=3$
Tìm max:$ \sum \dfrac{a}{a^2+2b+3}$
9)Cho các số thực dương a,b,c thỏa: $a+b+c+abc=4$
CMR: $\sum \dfrac{a}{\sqrt{b+c}} \geq \dfrac{a+b+c}{\sqrt{2}}$
10)Cho các số thực dương a,b,c thỏa $abc=2$.
CMR: $a^3+b^3+c^3 \geq a \sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:44

But only love can say-try again or walk away...But I believe for you and me...The sun will shine one day...So I'll just play my part...And pray you'll have a change of heart...But I can't make you see it through...That's something only love can do

Diễn đàn toán thpt: http://toanthpt.net/forum

Toán THCS: http://www.toanthpt....isplay.php?f=13

#7 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 13-04-2007 - 20:55

Giải 2 bài cuối nha:
4) Từ $a+b+c+abc=4 \Rightarrow a+b+c \geq ab+bc+ac $(Việt Nam MO 96 :D làm biếng CM lại wá)
$\large\ VT=\sum\dfrac{a^2}{a\sqrt{b+c}} \geq \dfrac{(a+b+c)^2}{\sum(a\sqrt{b+c})} $
Mà $\large\sum(a\sqrt{b+c}) \leq \sqrt{(a+b+c)(2ab+2bc+2ca)} \leq \sqrt{2(a+b+c)^2} $ =>dpcm
5) ChebuSev ta có $\large\ a^3+b^3+c^3 \geq \dfrac{1}{6}[(a+b)+(b+c)+(c+a)](a^2+b^2+c^2) \geq \dfrac{1}{6}[\sum(a\sqrt{b+c})]^2$.

Lại có $\large\sum(a\sqrt{b+c}) \geq 3\sqrt[3]{abc\sqrt{8abc}}=6 $ dpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:54


#8 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 13-04-2007 - 21:25

Bài 3 anh nghĩ là tìm max của $\large\sum\dfrac{a}{a^2+2b+3}$ chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:54


#9 lãng tử

lãng tử

    8C_HN-Ams

  • Thành viên
  • 576 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ở một nơi nào đó... trên thế giới này

Đã gửi 13-04-2007 - 21:27

Bài 3 em nghĩ là tìm max của $\large\sum\dfrac{a}{a^2+2b+3}$ chứ

Đúng r�ồi đó :D
Anh làm đi :ech

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:54

But only love can say-try again or walk away...But I believe for you and me...The sun will shine one day...So I'll just play my part...And pray you'll have a change of heart...But I can't make you see it through...That's something only love can do

Diễn đàn toán thpt: http://toanthpt.net/forum

Toán THCS: http://www.toanthpt....isplay.php?f=13

#10 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 13-04-2007 - 22:17

Ờ để anh giải thử:
$\large\ a^2+1 \geq 2a;b^2+1 \geq 2b;c^2+1 \geq 2c $
Ta CM $\large\ VT \leq \dfrac{1}{2} $ (Nhẩm $a=b=c=1$)
$\Leftrightarrow \large\sum\dfrac{a}{a+b+1} \leq 1 $
$\Leftrightarrow \large\sum\dfrac{b+1}{a+b+1} \geq 2 $
Ta có $\large\sum\dfrac{b+1}{a+b+1} \geq \dfrac{(a+b+c+3)^2}{\sum[(b+1)(a+b+1)} \geq 2 $ (Biến đổi tương đương hoặc khai triển vế ở mẫu đưa về $\leq \dfrac{1}{2}(a+b+c+3)^2 $ :D)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:56


#11 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 13-04-2007 - 22:30

Hihi em bảo những bài này dành cho người mới học Cauchy-Schwazt thì hơi là.......Những bài tập này đối với THCS thì có lẽ hơi cao.....
-----------------
@:Chả biết xưng hô thế nào xưng hô như vậy hợp chứ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 14-04-2007 - 10:17


#12 lãng tử

lãng tử

    8C_HN-Ams

  • Thành viên
  • 576 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ở một nơi nào đó... trên thế giới này

Đã gửi 14-04-2007 - 07:54

Tiếp nào :D
11) Cho $ x_1, x_2,.. x_n $ dương
$ x_1^2+x_2^2+..+x_n^2=1$ CMR
$ \dfrac{x_1^5}{x_2+x_3+\cdots+x_n}+\dfrac{x_2^5}{x_1+x_3+\cdots+x_n}+\cdots+{\dfrac{x_n^5}{x_1+x_2+...+x_{n-1}}\ge\dfrac{1}{n(n-1)}$
12) Cho $a,b,c ,d$ dương và $abcd=1$. CMR
$ \dfrac{a}{1+b+c+d}+\dfrac{b}{1+c+d+a}+\dfrac{c}{1+d+a+b}+\dfrac{d}{1+a+b+c}\ge1$
13) Cho các số $a,b,c,d,e,f$ dương. CMR:
$\dfrac{a}{b+c}+ \dfrac{b}{c+d}+ \dfrac{c}{d+e}+ \dfrac{d}{e+f}+ \dfrac{e}{f+a}+ \dfrac{f}{a+b} \geq 3$
14) Cho $a,b,c>0$ và $abc=1$. CMR:
$\sum \dfrac{1}{a^3(b+c)} \geq \dfrac{3}{2}$
15) Cho $x,y,z$ không âm và $x+y+z=1$. Tìm min,max của: $S=x+y+z-2xyz$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 13:58

But only love can say-try again or walk away...But I believe for you and me...The sun will shine one day...So I'll just play my part...And pray you'll have a change of heart...But I can't make you see it through...That's something only love can do

Diễn đàn toán thpt: http://toanthpt.net/forum

Toán THCS: http://www.toanthpt....isplay.php?f=13

#13 lãng tử

lãng tử

    8C_HN-Ams

  • Thành viên
  • 576 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:ở một nơi nào đó... trên thế giới này

Đã gửi 14-04-2007 - 07:58

Một số bài ứng dụng cho kĩ thuật chọn điểm rơi:
16) Cho $a,b,c>0;\sum a \geq 6$ Tìm min: $S= \sum \sqrt{a^2+ \dfrac{1}{b+c}}$
17) Cho $a,b,c>0;\sum \sqrt{a} \geq 3 \sqrt{2}$
CMR: $S= \sum \sqrt[3]{a^2+ \dfrac{1}{b^2}} \geq 3 \sqrt[3]{\dfrac{17}{4}}$
18) Cho $a,b,c>0;\sum a+ \sqrt{2abc} \geq 10$
CMR: $S= \sum \sqrt{\dfrac{8}{a^2}+ \dfrac{9b^2}{2}+ \dfrac{c^2a^2}{4}} \geq 6 \sqrt{6}$
19) Cho $a,b,c>0;\sum a(1+ \sqrt{\dfrac{a}{2}}) \geq 12$
CMR: $S= \sum \sqrt{\dfrac{16}{a^2}+ \dfrac{5b^2}{4}+ \dfrac{c}{2}+ \dfrac{19a^3}{8}} \geq 3 \sqrt{29}$

p/s: Hôm trước ko nhìn, hôm nay thấy hóa ra anh lớp 10 :D, em mới lớp 8 thôi :ech
Em thấy những bài đấy cũng không quá cao, THCS vẫn có thể giải được mà :ech

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 14:01

But only love can say-try again or walk away...But I believe for you and me...The sun will shine one day...So I'll just play my part...And pray you'll have a change of heart...But I can't make you see it through...That's something only love can do

Diễn đàn toán thpt: http://toanthpt.net/forum

Toán THCS: http://www.toanthpt....isplay.php?f=13

#14 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 14-04-2007 - 10:39

Trong khi anh giải anh cho em mấy bài giải trí nè:(Cấm dùng d�ồn biến nha)
1)Cho a,b,c thỏa $\ ab+bc+ac=1$ CMR: $\large\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c} \geq \dfrac{5}{2} $
2)Tìm min $ M=\sum \dfrac{\cos^2{\dfrac{A}{2}}\cos^2{\dfrac{B}{2}}}{\cos^2{\dfrac{C}{2}}} $
Nếu chịu dể ý em sẽ thấy vẻ đẹp 2 bài toán này...................

-----------------------
Thêm bài Cauchy Schwazt anh tặng em nè.
CMR: mọi a,b,c dương thì $\large\dfrac{a^2+b}{b+c}+\dfrac{b^2+c}{c+a}+\dfrac{c^2+a}{a+b} \geq 2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 14:04


#15 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 14-04-2007 - 16:51

Bài này hay nè
Cho $ \huge\red x, y, z >0$ . CMR
$ \huge\red\3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)\geq xyz(x+y+z)^3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 14:05

Quy ẩn giang hồ

#16 vo thanh van

vo thanh van

    Võ Thành Văn

  • Hiệp sỹ
  • 1197 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình quê ta ơi

Đã gửi 14-04-2007 - 16:52

Cho $ x, y, z \ge 0$ $\huge\red x^2+y^2+z^2=1$
Tìm max $\huge\red x+y+z-3xyz$
cùng loại
Cho
a, b, c dương và $a+b+c=1$
Tìm max
a.$ab+bc+ca-abc$
b.$ab+bc+ca-2abc$
c.$ab+bc+ca-3abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 31-05-2011 - 14:06

Quy ẩn giang hồ

#17 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 11:14

Bài của vo_thanh_van nè:
AM-GM $\large\dfrac{1}{3}+\dfrac{x^2y}{xy^2+yz^2+zx^2}+\dfrac{x^2z}{x^2y+y^2z+z^2x} \geq \dfrac{3x\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)} $
$\large\dfrac{1}{3}+\dfrac{y^2z}{xy^2+yz^2+zx^2}+\dfrac{y^2x}{x^2y+y^2z+z^2x} \geq \dfrac{3y\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)} $
$\large\dfrac{1}{3}+\dfrac{z^2x}{xy^2+yz^2+zx^2}+\dfrac{z^2y}{x^2y+y^2z+z^2x} \geq \dfrac{3z\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2)} $

Cộng lại =>$\large\ 3(x^2y+y^2z+z^2x)(xy^2+yz^2+zx^2) \geq xyz(x+y+z)^3 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 15-04-2007 - 11:15


#18 dtdong91

dtdong91

    Tiến sĩ diễn đàn toán

  • Hiệp sỹ
  • 1791 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K35-THPT chuyên Phan Bội Châu-Nghệ An
  • Sở thích:đá bóng ,làm toán ,đọc sách

Đã gửi 15-04-2007 - 12:17

bài thứ 2 của võ thãnh văn cũng dễ thuibaitongquat
Hoặc do x,y,z :D 0 nên có thể đánh giá thăng luôn :D
$ f(ã,y,z) \le f(x,\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}},\sqrt{\dfrac{y^2+z^2}{2}})$ với x min
Còn bài dưới thì xài pp hàm số bậc nhất thui
Đặt ab=t
=> f(t)=t(1-c)+c(1-c)
Đến đây dùng đồng biến nghịch biến thui
12A1-THPT PHAN BỘI CHÂU-TP VINH-NGHỆ AN

SẼ LUÔN LUÔN Ở BÊN BẠN

#19 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 16:11

Mài mò mãi cũng ra 11) Đặt S=$\ x_1+x_2+...+x_n $
Ta có$\large\sum\dfrac{x_i^5}{S-x_i} =\sum (n-1)\dfrac{x_i^6}{(n-1)x_i(S-x_i)} \geq \sum 4(n-1)\dfrac{x_i^6}{[(n-1)x_i+S-x_i]^2} \geq 4(n-1) \dfrac{[\sum\dfrac{x_i^3}{(n-1)x_i+S-x_i}]^2}{n} $
Mà $\large\sum\dfrac{x_i^3}{(n-1)x_i+S-x_i} \geq \dfrac{(\sum x_i)^2}{(n-1)(\sum x_i^2)+(n-1)x_i^2} \geq \dfrac{1}{2(n-1)} $
=>$\large\sum\dfrac{x_i^5}{S-x_i} \geq \dfrac{1}{4(n-1)^2n}.4(n-1) =\dfrac{1}{n(n-1)} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoveIs4Ever: 15-04-2007 - 16:12


#20 MyLoveIs4Ever

MyLoveIs4Ever

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 441 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Thị Xã Sadec
  • Sở thích:Thích nhất là &quot;đánh ba&quot;,đi chơi với bạn gái

Đã gửi 15-04-2007 - 16:18

13) Ta có VT $\large\sum\dfrac{a^2}{a(b+c)} \geq \dfrac{(a + b + c + d + e + f)^2}{ab+bc+cd+de+ef+fa+ce+ea+bd+df+fb} $
Gọi S là mấu ta có: $\large\ 2S=(a+b+c+d+e+f)^2-[(a+d)^2+(b+e)^2+(c+f)^2] \leq (a+b+c+d+e+f)^2-\dfrac{1}{3}(a+b+c+d+e+f)^2 => S \leq \dfrac{1}{3}(a+b+c+d+e+f)^2 $ => DPCM




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh