Lần sao anh Non_stop nhớ định nghĩa $S\(A\)$ là cái gì nhé anh, để em mò mẫm quá trời
.
Em nghĩ rằng $S\(A\)$ là diện tích của tập lồi $A$ phải không anh? Nếu đúng thế thì bài toán em xin giải như sau:
Trước hết ta chứng minh nhận định sau:
Cho $A$ là một hình phẳng sao cho $S\(A\)>n$, ở đây $n\in\mathbb{N}^*$. Khi đó, tồn tại $n+1$ điểm $A_i\(x_i;y_i\)\in A\(i=\overline{1;n+1}\)$ sao cho $x_i-x_j$ và $y_i-y_j\(\forall i,j=\overline{1;n+1}\)$ đều là các số nguyên.
Thật vậy, trước hết ta lập một lưới vuông với các hình vuông có diện tích bằng $1$. Lấy một hình bất kì trong số chúng làm gốc rồi tịnh tiến các hình có chứa các mảnh của $A$ về hình vuông gốc đó. Như vậy, tổng diện tích các hình tịnh tiến sẽ lớn hơn $n$.
Khi đó, theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất $n+1$ trong số những phần của $A$ đã tịnh tiến tới hình vuông có điểm chung $\(x_0;y_0\)$.
Giả sử những điểm đó lúc đầu có tọa độ là $\(x_i;y_i\)\(i=\overline{1;n+1}\)$ thế thì $x_i-x_0$ và $y_i-y_0$ đều là các số nguyên $\forall i=\overline{1;n+1}$.
Suy ra $x_i-x_j$ và $y_i-y_j$ cũng là số nguyên $\forall i;j=\overline{1;n+1}$.
Nhận xét được chứng minh hoàn toàn.
Bây giờ trở lại bài toán:
Xét phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\dfrac{1}{2}$ biến $A\mapsto A'$, khi đó: $S\(A'\)=\dfrac{S\(A\)}{4}>n$
Vì $A'$ là tập lồi và $S\(A'\)>n$ nên theo nhận xét trên, $A'$ chứa ít nhất $n+1$ điểm $\(x_i;y_i\) \(i=\overline{1;n+1}\)$ phân biệt sao cho $x_i-x_j$ và $y_i-y_j$ đều là các số nguyên $\forall i;j=\overline{1;n+1}$.
Xét bao lồi của hệ $n+1$ điểm $\(x_i;y_i\)$ này. Rõ ràng bao lồi ấy là một đa giác lồi mà mỗi đỉnh là một trong số những điểm $\(x_i;y_i\)\(i=\overline{1;n+1}$. Hơn nữa, đỉnh của đa giác bao lồi thì không bao giờ thuộc vào một đoạn thẳng có 2 đầu mút là 2 điểm nằm trong đa giác. Vì thế, nói riêng trong những điểm $\(x_i;y_i\)$ ấy, tồn tại ít nhất một điểm không nằm trong bất kì đoạn thẳng nào nối 2 điểm $\(x_j;y_j\),j=\overline{1;n+1}$. Không mất tính tổng quát, giả sử đó là điểm $\(x_1;y_1\)$.
Như vậy $\(x_i-x_1;y_i-y_1\),i=\overline{2;n+1}$ là các điểm nguyên khác gốc tọa độ $O$. Hơn nữa, vì $A'$ là ảnh của $A$ qua phép vị tự tâm $O$ tỉ số $\dfrac{1}{2}$ mà $A$ đối xứng qua $O$ nên $A'$ cũng nhận $O$ làm tâm đối xứng; đồng thời $A$ lồi nên $A'$ cũng lồi.
Ta có $\(x_1;y_1\)\in A'\Rightarrow \(-x_1;-y_1\)\in A'$ mà $\(x_i;y_i\)\in A'$ nên $\(\dfrac{x_i-x_1}{2};\dfrac{y_i-y_1}{2}\)\in A'$, từ đó suy ra $\(x_i-1;y_i-1\)\in A,\forall i=\overline{2;n+1}$.
Mặt khác, $A$ là tập đối xứng qua $O$ nên $\(x_1-x_i;y_1-y_i\)\in A$. Đến đây, ta đã xây dựng được $2n$ điểm nguyên thuộc $A$. Đồng thời, $A$ là tập lồi và đối xứng qua gốc tọa độ $O$ nên $O\in A$. Vậy ta đã có $2n+1$ điểm nguyên thuộc $A$.
Để kết thúc bài toán, ta chỉ cần chứng minh $2n$ điểm nguyên $\(x_i-x_1;y_i-y_1\)$ và $\(x_1-x_i;y_1-y_i\)$ phân biệt.
Giả sử ngược lại, tồn tại 2 điểm trong số chúng trùng nhau. Rõ ràng 2 điểm thuộc cùng một nhóm $\(x_i-x_1;y_i-y_1\)$ hay $\(x_1-x_i;y_1-y_i\)$ thì không thể trùng nhau nên 2 điểm trùng nhau phải có dạng $\(x_i-x_1;y_i-y_1\)\equiv\(x_1-x_j;y_1-y_j\)$. Khi đó, $\(x_i;y_i\)$ đối xứng với $\(x_j;y_j\)$ qua $\(x_1;y_1\)$. Điều này mâu thuẫn với cách chọn điểm $\(x_1;y_1\)$ qua việc xét bao lồi nói trên.
Vậy giả thiết phản chứng là sai và ta có đpcm.
Bài toán kết thúc ở đây được chưa anh Non_stop nhỉ?
Và như thế, hạnh phúc thật giản dị, nhưng đó là điều giản dị mà chỉ những người thực sự giàu có trong tâm hồn mới sở hữu được.
)
V___D___.doc 14.5K
8 Số lần tải
