1) Phân tích SOS cho biểu thức: $M= 4(a^3+b^3+c^3)-(a+b)(b+c)(c+a)-4abc$
Giải: Cho $a=b$, ta có $M=(6a+4c)(a-c)^2$ (1)
Cho $b=c$, ta có $M=(6b+4a)(a-b)^2$ (2)
Cho $c=a$, ta có $M=(6c+4b)(b-c)^2$ (3)
Từ đó ta có hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=3a+3b+4c$ (1')
$S_b+S_c=3b+3c+4a$ (2')
$S_c+S_a=3c+3a+4b$ (3')
Từ đây ta tính được $S_a=2b+2c+a$ ; $S_b=2a+2c+b$ ; $S_c=2a+2b+c$
Vậy ta có : $M= (2b+2c+a)(b-c)^2+(2a+2c+b)(c-a)^2 + (2a+2b+c)(a-b)^2$
* Chắc các bạn thắc mắc rằng tại sao ta có hệ trên. Chú ý là các biểu thức $S_a,S_b,S_c$ là các biểu thức bán đối xứng.Ở (1) ta đã gọp a và b thành một nên sau khi chia xong ta phải tách chúng ra mà cụ thể $6a=3a+3b$ . Tương tự đó với (2) và (3).
Sau đây là ví dụ khác.
2) Phân tích SOS cho biểu thức $N=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$
Giải: Cho $a=b$, thì $N=c(a-c)^2$
Cho $b=c$, thì $N=a(b-a)^2$
Cho $c=a$ , thì $N= b(c-b)^2$
Từ đây ta được hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=c$
$S_b+S_c=a$
$S_c+S_a=b$
từ đây ta tính được $S_a= \dfrac{b+c-a}{2}$ ; $S_b=\dfrac{a+c-b}{2}$ ; $S_c=\dfrac{a+b-c}{2}$
Từ đây ta kết luận: $N= \dfrac{b+c-a}{2}(b-c)^2+\dfrac{a+c-b}{2}(c-a)^2+\dfrac{a+b-c}{2}(a-b)^2$.
Ví dụ 3)
Phân tích SOS cho biểu thức $A=a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)$.
Giải:
Cho $a=b$ ta có $A=(2a^2+2ac+c^2)(a-c)^2$
cho $b=c$ ta có $A=(2b^2+2ab+a^2)(a-b)^2$
cho $a=c$ ta có $A=(2c^2+2bc+b^2)(b-c)^2$
Từ đó ta được hệ gồm 3 pt sau
$S_a+S_b=a^2+b^2+ac+bc+c^2$
$S_b+S_c=b^2+c^2+ab+ac+a^2$
$S_c+S_a=c^2+a^2+bc+ab+b^2$
Từ đây ta tính được
$S_a=\dfrac{a^2+(b+c)^2}{2} ; S_b=\dfrac{b^2+(a+c)^2}{2} ; S_c=\dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}$
Vậy $A= \dfrac{a^2+(b+c)^2}{2}(b-c)^2+\dfrac{b^2+(c+a)^2}{2}(c-a)^2 + \dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}(a-b)^2$
Vì thời gian có hạn nên mình chỉ post vài ví dụ minh họa, mong các bạn góp ý. Nếu có sai sót xin bỏ qua!
Edited by linhdieu12, 21-12-2009 - 16:10.