Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Đề chọn đội tuyển toán 11,12 Chuyên KHTN, vòng 3.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1 anh qua

anh qua

    Sĩ quan

  • Hiệp sỹ
  • 476 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:huyện Lặng Gió, tỉnh Quan Họ

Đã gửi 29-11-2011 - 07:32

Vòng 3:
Thời gian làm bài 180 phút
Ngày 1: 28/11/2011

Câu I. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ tồn tại duy nhất một số nguyên dương $a<5^n$ thỏa mãn $5^n|a^3-a+1$

Câu II. Cho $k$ là số thực dương cố định và $a,b,c$ là các số dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của
$P= \dfrac{a+b+c}{ (a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{1}{k}}}+\dfrac{(a^k+b^k+c^k)^{\dfrac{3}{k}}}{abc}$

Câu III. Cho tam giác $ABC$.$M$ di chuyển trên đoạn $BC$, $B' \in AC,C'\in AB$ sao cho $AC'MB'$ là hình bình hành.Gọi $N_b,N_c$ là tâm Euler của $MBC'$ và $MCB'$. $T$ là trung điểm $N_bN_c$. Chứng minh rằng $MT$ đi qua điểm cố định.

Câu IV. Cho dãy số dương $a_n$ thỏa mãn
$$a_1=1,a_2=\dfrac{2}{3},a_{n+2}<\dfrac{1}{4}a_{n+1}^2+\dfrac{3}{4}a_n$$

Chứng minh rằng $a_n$ hội tụ và tìm giới hạn của nó
-----------------------------Hết--------------------------------

p/s: Đề vòng 3 dễ hơn vòng 2, chiều nay thi ngày hai, chúc các anh chị 11,12- KHTN của VMF thi tốt.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anh qua: 29-11-2011 - 07:38

Give me some sunshine
Give me some rain
Give me another chance
I wanna grow up once again

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 29-11-2011 - 16:38

Cám ơn anh qua đã post đề cho mọi người tham khảo ; đề này cũng đẹp :)

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 Didier

Didier

    đẹp zai có một ko hai

  • Thành viên
  • 403 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:BKHN K58

Đã gửi 29-11-2011 - 18:13

Bài 1 :Cái này có thể sử dụng phuơng trình đồng dư
ta có $a^{3}-a+1\equiv 0(mod5)$ thấy rằng pt này $a\equiv -2(mod5)$là nghiệm duy nhất của pt trên trong khoảng $\left [ 1;5 \right ]$
có lại có $f'(3)\not\equiv 0(mod5)$
$\Rightarrow pt a^{3}-a+1\equiv 0(mod5^{k})$ có đúng một nghiêm trong khoảng $\left [ 1;5^{k} \right ]$ đây là điều mà ta phải chứng minh
Bổ đề trên chứng minh các bạn có thể tham khảo cuốn đa thức và áp dụng của Nguyễn Văn Mậu
tớ có thể nói qua là nó dùng quy nạp
Bên MS có một cách chứng minh khá hay không cần dùng tới bổ đề này mà chỉ cần giả sử pt đó có 2 nghiệm khác nhau là x và x' sau đó sau một vài phép biến đổi chúng bằng nhau


#4 duongchelsea

duongchelsea

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 142 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-08-2012 - 22:46

Làm thử câu 2:
$$a+b+c\geq 3\sqrt[3]{abc}$$(bđt Cauchy)
$$\Rightarrow P\geq \frac{3\sqrt[3]{abc}}{(a^k+b^k+c^k)^\frac{1}{k}}+\frac{(a^k+b^k+c^k)^\frac{3}{k}}{abc}=\frac{\sqrt[3]{abc}}{(a^k+b^k+c^k)^\frac{1}{k}}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{(a^k+b^k+c^k)^\frac{1}{k}}+\frac{\sqrt[3]{abc}}{(a^k+b^k+c^k)^\frac{1}{k}}+\frac{(a^k+b^k+c^k)^\frac{3}{k}}{abc}$$
Áp dụng bđt Cauchy cho 4 số
$$\Rightarrow P\geq 4\sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{abc}}{(a^k+b^k+c^k)^\frac{1}{k}}\frac{\sqrt[3]{abc}}{(a^k+b^k+c^k)^\frac{1}{k}}\frac{\sqrt[3]{abc}}{(a^k+b^k+c^k)^\frac{1}{k}}\frac{(a^k+b^k+c^k)^\frac{3}{k}}{abc}}$$
$$\Leftrightarrow P\geq 4$$
Vậy GTNN của P=4 khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duongchelsea: 10-08-2012 - 22:47


#5 Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 539 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-08-2012 - 23:12

Đề câu 3 hình như bị sai. Vẽ trên GSP thấy nó không cố định

#6 lekhanhduy89

lekhanhduy89

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 23-08-2012 - 00:37

bài này bạn làm rắc rối quá. Chỉ cần cauchy 1 lần thôi mà: tách a + b +c ra thành a/mẫu + b/mẫu + c/mẫu và cauchy ra kết quả bằng 4 và a=b=c

#7 quanghung86

quanghung86

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 632 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên KHTN
  • Sở thích:Hình học

Đã gửi 19-09-2015 - 18:53

Ngày 2

 

Câu 1. Cho $k$ là số thực dương thỏa mãn $[k.n^2]$ là số chính phương với mọi số nguyên dương $n$.Chứng minh rằng $k$ là số chính phương.

Câu 2. Cho $ f :\mathbb R\to \mathbb R$ là hàm bị chặn thỏa mãn $f^2(x+y)\geq f^2(x)+2f(xy)+f^2(y)$ với mọi $x,y\in\mathbb R.$ Tìm tất cả các giá trị có thể có của $f(x)$.

 

Câu 3. Cho tứ giác $ABCD$, $AD$ giao $BC$ tại $E$. $I$ là trung điểm $CD$. $EI$ cắt $(EAB)$ tại $M$. $F$ là giao điểm hai đường chéo $AC$ và $BD$. $N$ là giao của $EF$ và $(EAB)$. Chứng minh $C,D,M,N$ đồng viên.

Câu 4. Cho $k,n\in\mathbb Z+$. Giả sử G là một đồ thị vô hướng có n đỉnh thỏa mãn: Nếu ta bỏ đi một đỉnh bất kì và các cạnh nối với nó thì độ thị còn lại liên thông. Hai người A,B chơi một trò chơi như sau: A chọn hai đỉnh p,q nào đó của G, B định hướng cho nhiều nhất k cạnh của G; sau đó A định hướng cho tất cả các cạnh còn lại và chọn một cạnh r đã định hướng. Nếu trong đồ thị vừa định hướng có một con đường đi từ p đến q mà đi qua r thfi B thắng,và ngược lại A thắng. Chứng minh rằng

i) Nếu $k=2n-4$ thì tồn tại đồ thị G mà A có chiên thuật thắng

ii) Nếu $k=2n-3$ thì B có chiến thuật thắng.



#8 toanhoc2017

toanhoc2017

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1021 Bài viết

Đã gửi 17-02-2020 - 14:17

KHÔ






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh