Chủ đề này có 1115 trả lời

[pcfamily]

Cho $x\geq 1,y\geq 1,z\geq 1$
Chung Minh
$\frac{1}{1+x^{3}}+\frac{1}{1+y^{3}}+\frac{1}{1+z^{3}}\geq \frac{3}{1+xyz}$

Bđt 23
http://diendantoanho...hụ/page__st__20

[ZzNarutozZ]

Với a,b>0 và a+b=1 cmr:
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \geq 9$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZzNarutozZ: 11-12-2012 - 20:35

[banhgaongonngon]

Với a,b>0 và a+b=1 cmr:
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \geq 9$

Có $A=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab} \geqslant 1+\frac{4}{a+b}+\frac{4}{(a+b)^{2}}=9$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}>0$

[banhgaongonngon]

Với a,b>0 và a+b=1 cmr:
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \geq 9$

Hoặc bạn áp dụng luôn bất đẳng thức này nè $(1+x)(1+y)\geqslant (1+\sqrt{xy})^{2}$
Áp dụng : $(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})\geqslant (1+\frac{1}{\sqrt{ab}})^{2}\geqslant (1+\frac{2}{a+b})^{2}=9$

Cách khác: Biến đổi tương đương: $(a+1)(b+1)\geqslant 9ab \Leftrightarrow ab+a+b+1\geqslant 9ab \Leftrightarrow ab\leqslant \frac{1}{4}$ (đúng theo $AM-GM$ )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 11-12-2012 - 20:58

[Dung Dang Do]

Với a,b>0 và a+b=1 cmr:
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b}) \geq 9$

ư
$(1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})=(1+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2a})(1+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b})\ge 3\sqrt[3]{\frac{3}{4a^2}}*3\sqrt[3]{\frac{3}{4b^2}}\ge 9\sqrt[3]{\frac{9}{16abab}}\ge 9$
__________
P/s: Mấy cách dễ thì các bạn làm hết rồi. Thôi thì cách này tạm vậy

[nguyencuong123]

Cho x,y,z la cac so thuc duong. CM

$\frac{1}{x\left ( y+1 \right )}+\frac{1}{y\left ( z+1 \right )}+\frac{1}{z\left ( x+1 \right )}\geq \frac{3}{xyz+1}$
____________
Nhập số bài vào lần sau sẽ xoá

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Dung Dang Do: 13-12-2012 - 17:34

[Joker9999]

Cho x,y,z la cac so thuc duong. CM

$\frac{1}{x\left ( y+1 \right )}+\frac{1}{y\left ( z+1 \right )}+\frac{1}{z\left ( x+1 \right )}\geq \frac{3}{xyz+1}$
____________
Nhập số bài vào lần sau sẽ xoá

Tham khảo tại đây:
http://diendantoanho...1geq-frac31abc/

[Kwon Simonster]

Cho x,y,z la cac so thuc duong. CM

$\frac{1}{x\left ( y+1 \right )}+\frac{1}{y\left ( z+1 \right )}+\frac{1}{z\left ( x+1 \right )}\geq \frac{3}{xyz+1}$
____________
Nhập số bài vào lần sau sẽ xoá

Đề: C/m: $\frac{1}{a(b+1)}+\frac{1}{b(c+1)}+\frac{1}{c(a+1)}\geq \frac{3}{abc+1}$

Đặt $a = k\frac{x}{y} , b=k\frac{y}{z},c=k\frac{z}{x} => abc=k^{3}$
Từ giả thiết => cần chứng minh $\frac{1}{k^{2}\frac{x}{z}+k\frac{x}{y}}+\frac{1}{k^{2}\frac{y}{x}+k\frac{y}{z}}+\frac{1}{k^{2}\frac{z}{y}+k\frac{z}{x}}\geq \frac{3}{k^{3}+1}$

Ta xét :
$VT=\frac{yz}{k^{2}xy+kxz}+\frac{xz}{k^{2}yz+kxy}+\frac{xy}{k^{2}zx+kyz} =\frac{(yz)^{2}}{k^{2}(xy)(yz)+k(xz)(yz)}+\frac{(xz)^{2}}{k^{2}(yz)(xz)+k(xy)(xz)}+\frac{(xy)^{2}}{k^{2}(xy)(xz)+k(yz)(yx)}\geq \frac{(yz+xz+xy)^{2}}{(k^{2}+k)(xy^{2}z+x^{2}yz+xyz^{2})}\geq \frac{3}{k^{2}+k}\geq \frac{3}{k^{3}+1}$

Áp dụng bất đặng thức sau để chứng minh: $\frac{a^{2}}{x}+\frac{b^{2}}{y}+\frac{c^{2}}{z}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{x+y+z}$
Dễ dàng chứng minh được: $k^{2}+k\leq k^{3}+1\Leftrightarrow k(k+1)\leq (k+1)(k^{2}-k+1)$
Luôn đúng với mọi k >0

--------------------------------------
P/s: Mình xin lỗi vì lỡ đánh nhầm nên đành sửa x, y , z thành a, b, c nhé bạn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kwon Simonster: 16-12-2012 - 21:38

[Supermath98]

Trong toppic này có mấy kí hiệu em không hiểu. mọi người nói cho em biết khi nào thì dùng nó cái. kí hiệu $\sum$

[eatchuoi19999]

Mọi người giúp em bài này với. Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$

[duybigbangvip]

tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của :

$\tfrac{x^2-(x-4y)^2}{x^2+4y^2}$

[nguyensidang]

Trong toppic này có mấy kí hiệu em không hiểu. mọi người nói cho em biết khi nào thì dùng nó cái. kí hiệu $\sum$

đấy là kí hiệu tổng bạn ạ

vd:$\sum \frac{a}{b+c}$

ta sẽ hiểu là 1 tổng với các số hạng là hoán vị các biến của biểu thức gốc

$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}$

[andymurray44]

Mọi người giúp em bài này với. Cho $a,b,c> 0; a+b+c=3$. Chứng minh:

$\frac{a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+\frac{b^{3}}{c^{2}+a^{2}}+\frac{c^{3}}{a^{2}+b^{2}}\geqslant \frac{3}{2}$

Bài này đc phết!

Bước 1

$\frac{2a^{3}}{b^{2}+c^{2}}+a\geq \frac{2\sqrt{2}a^{2}}{\sqrt{b^{2}+c^{2}}}$

Tương tự,ta có thể xử lí đc phần cộng thêm là a,b,c vì chúng có tổng bằng 3.Bây giờ chỉ cần tìm min biểu thức

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{b^{2}+c^{_{2}}}}$

Áp dụng BĐT Cauchy:

$\sum \frac{a^{2}}{\sqrt{b^{2}+c^{_{2}}}}\geq \sum \frac{2a^{2}}{b^{2}+c^{_{2}}}$

Giờ tìm min của$\sum \frac{2a^{2}}{b^{2}+c^{_{2}}}$

Cái này thì dễ rùi,cộng 2 vào mỗi phân số rồi áp dụng BĐT $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$ xong luôn,đó là cơ bản hướng làm.Mình lười nên ko muốn tính hẳn số rõ ràng ra nhưng chắc là đúng thui

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 31-03-2013 - 16:15

[andymurray44]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi andymurray44: 31-03-2013 - 16:17

[Trang Luong]

Cho a,b,c > 0 CMR :

$\sum \frac{bc}{a^{2}(b+c)}\geq \frac{1}{2}\left ( \sum \frac{1}{a} \right )$

[Kwon Simonster]

Chứng minh rằng

 

$\frac{1}{3(1+\sqrt{2})}+\frac{1}{5(\sqrt{2}+\sqrt{3})}+\frac{1}{7(\sqrt{3}+\sqrt{4})}+...+\frac{1}{4015(\sqrt{2007}+\sqrt{2008})}< \frac{2007}{2009}$

 

Mình cần giải bài này gấp. mong mọi người giúp đỡ 

Cảm ơn nhìu ạ =))

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kwon Simonster: 01-04-2013 - 21:14

[eatchuoi19999]

Cho $x,y> 0$ thỏa mãn $xy\geqslant 2$. Chứng minh:

$(x-2)^{2}+(y+2)^{2}\geqslant 8$

[Trang Luong]

Cho A = $\frac{1}{1^{2}+2^{2}+3^{2}}+\frac{1}{2^{2}+3^{2}+4^{2}}+...+\frac{1}{24^{2}+25^{2}+26^{2}}$

CMR : $0,15 < A < 0,25$

[Trang Luong]

Cho $x>0, y>0$ thỏa $x+y=\frac{6}{5}$. Tìm GTNN của $S=\frac{5}{x}+\frac{1}{5y}$

[4869msnssk]

cho a,b,c là các số dương, chứng minh rằng: $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}\geq \frac{3}{a+b}+\frac{18}{3b+4c}+\frac{9}{c+6a}$