$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$
#1
Đã gửi 11-03-2012 - 07:38
$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm tất cả các giá trị mà tổng $S=x+y+z$ có thể nhận được.
- truclamyentu, Trần Đức Anh @@, tieulyly1995 và 3 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 11-03-2012 - 10:12
Bài toán: Cho $(x;y;z)$ là bộ nghiệm của hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm tất cả các giá trị mà tổng $S=x+y+z$ có thể nhận được.
Bài này đã được giải trên VMF nhưng anh không nhớ ở đâu.
Kết quả là:
$S = 0\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 0$
$S = 9\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 3$
$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right)$
$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{9}} \right)$
- phatthemkem và PolarBear154 thích
#3
Đã gửi 11-03-2012 - 17:15
Kết quả chính xác là $S=\{0;6;9 \}$.2 tổng cuối có thể tính ra kết quả đại SốBài này đã được giải trên VMF nhưng anh không nhớ ở đâu.
Kết quả là:
$S = 0\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 0$
$S = 9\,\,\text{khi}\,\,\,x = y = z = 3$
$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\frac{{3\pi }}{7}} \right)$
$S = 4\left( {{{\sin }^2}\frac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\frac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\frac{{4\pi }}{9}} \right)$
P/s:Bài này hồi xưa là em giải cho bạn Giang1994 .Chắc cũng được hơn 1 năm rưỡi rồi
- phatthemkem, toanc2tb và PolarBear154 thích
#4
Đã gửi 16-03-2012 - 22:26
Bài toán: Cho $(x;y;z)$ là bộ nghiệm của hệ sau:
$$\left\{\begin{matrix}x=y(4-y) \\ y=z(4-z) \\ z=x(4-x) \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm tất cả các giá trị mà tổng $S=x+y+z$ có thể nhận được.
http://diendantoanho...showtopic=63679Giả sử $\left( {x;y;z} \right)$ là một nghiệm đã cho. Cộng các vế PT của hệ ta được: $3S = {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge 0 \Rightarrow S \ge 0$
Suy ra trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất một số không âm, giả sử $x \ge 0$. Từ $\left( 1 \right):y\left( {4 - y} \right) = x \ge 0 \Rightarrow 0 \le y \le 4$. Bằng phép hoán vị vòng quanh, suy ra $0 \le x,y,z \le 4$.
Đặt: $x = 4{\sin ^2}\alpha ;\,\,\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]$. Từ $\left( 3 \right) \Rightarrow z = 4{\sin ^2}\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}\alpha } \right) = 16{\sin ^2}\alpha c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 4{\sin ^2}2\alpha $
và $\left( 2 \right) \Rightarrow y = 4{\sin ^2}2\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}2\alpha } \right) = 4{\sin ^2}4\alpha ;\,\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow x = 4{\sin ^2}4\alpha \left( {4 - 4{{\sin }^2}4\alpha } \right) = 4{\sin ^2}8\alpha $
Do đó $\alpha $ là nghiệm của phương trình: ${\sin ^2}8\alpha = {\sin ^2}\alpha \Leftrightarrow c{\rm{os}}16\alpha = c{\rm{os}}2\alpha $. Suy ra
* $16\alpha = 2\alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \dfrac{{k\pi }}{7}\,\,\left( {k \in Z} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} k = \left\{ {0,1,2,3} \right\}$
$i)$ $k = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\sin }^2}2\alpha + {{\sin }^2}4\alpha } \right) = 0$
$ii)\,\,\,k = 1,2,3 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{3\pi }}{7}} \right)$
* $16\alpha = - 2\alpha + 2k\pi \Rightarrow \alpha = \dfrac{{k\pi }}{9}\,\,\left( {k \in Z} \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\alpha \in \left[ {0;\dfrac{\pi }{2}} \right]} k = \left\{ {0,1,2,3,4} \right\}$
$i)\,\,\,k = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow S = x + y + z = 0$
$ii)\,\,\,k = 1,2,4 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{9}} \right)$
$iii)\,\,\,k = 3 \Rightarrow S = x + y + z = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$.
Vậy tổng $S$ có thể nhận trong một các giá trị sau: $S = 0 \Leftrightarrow x = y = z = 0;\,\,\,\,\,S = 9 \Leftrightarrow x = y = z = 3$
$$S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{7} + {{\sin }^2}\dfrac{{3\pi }}{7}} \right);\,\,\,S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{9} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{9}} \right);\,\,\,S = 4\left( {{{\sin }^2}\dfrac{\pi }{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{2\pi }}{3} + {{\sin }^2}\dfrac{{4\pi }}{3}} \right)$$.
- tanhuynh1232, NTHMyDream, phatthemkem và 1 người khác yêu thích
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: Tặng VMF ^_^
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình →
Giải hệ với $xy+yz+zx=1$Bắt đầu bởi dark templar, 10-03-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
$$u_{n}^2u_{n+1}+2u_{n+1}=6$$Bắt đầu bởi dark templar, 09-03-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Phương trình - Hệ phương trình - Bất phương trình →
$$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+x+y=18 \\ \log_{2}x.\log_{3}y=1 \end{matrix}\right.$$Bắt đầu bởi dark templar, 25-02-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Số học →
S có thể là số chính phương ?Bắt đầu bởi dark templar, 07-01-2012 Tặng VMF ^_^ |
|
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh