Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
* * - - - 3 Bình chọn

CM: $2sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^{2}}...$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 minhdat881439

minhdat881439

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Huế

Đã gửi 07-08-2012 - 09:38

Cho vài (hoặc tất cả) các số $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ bằng +1 và các số còn lại của chúng bằng -1.Chứng tỏ rằng :

$2\sin (a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^{2}}+...+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-1}}).45=a_{1}\sqrt{2+a_{2}\sqrt{2+a_{3}\sqrt{2+...+a_{n}{\sqrt{2}}}}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-12-2017 - 17:22

Đừng ngại học hỏi. Kiến thức là vô bờ, là một kho báu mà ta luôn có thể mang theo dể dàng


Trần Minh Đạt tự hào là thành viên VMF


#2 NMD202

NMD202

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 37 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Lê Quý Đôn Bình Định
  • Sở thích:Mathematics

Đã gửi 07-03-2018 - 23:23

Ta có công thức góc chia đôi: $\frac{1-\cos\alpha}{2}=\sin^{2}\frac{\alpha}{2}$ suy ra $2\sin\frac{\alpha}{2}=\pm\sqrt{2-2\cos\alpha}$
(Trong đó dấu + hoặc - sẽ được chọn sao cho phù hợp với quy luật về dấu của hàm sin)
Ta chứng minh công thức
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=\pm\sqrt{2+2\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}} (1)$

Nhận thấy:
+ Với $a_{1}=1$ thì:
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$ 

$=90^{\circ}+(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}$
+ Với $a_{1}=-1$ thì:

$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$ 

$=-[90^{\circ}+(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}]$

Lại có:
$\cos\pm[90^{\circ}+(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}]$
$=-\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}$

Áp dụng công thức góc chia đôi , ta chứng minh được công thức (1).

Để ý rằng các góc đang xét trên, nếu lấy giá trị tuyệt đối, thì chúng luôn nhỏ hơn $90^{\circ}$:
$(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$\leq (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+...+\frac{1}{2^n}).45^{\circ}=90^{\circ}-\frac{90^{\circ}}{2^{n+1}}<90^{\circ}$
Nên căn bậc hai trong công thức trên sẽ có dấu + hoặc - phụ thuộc vào dấu của $a_{1}$, nên ta có thể viết lại thành:
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=a_{1}\sqrt{2+2\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}}$

Vì các $a_{i}$ chỉ nhận giá trị là $1$ và $-1$ nên ta dễ thấy $2sina_{i}.45^{\circ}=a_{i}\sqrt{2}$
từ đó áp dụng liên tiếp công thức (1) , ta suy ra được hệ thức sau :
$2\sin(a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^2}+...+\frac{a_{1}a_{2}...a_{n}}{2^{n-1}}).45^{\circ}$
$=a_{1}\sqrt{2+2\sin(a_{2}+\frac{a_{2}a_{3}}{2}+\frac{a_{2}a_{3}a_{4}}{2^2}+...+\frac{a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-2}}).45^{\circ}}$

$=a_1\sqrt{2+a_2\sqrt{2+2\sin(a_{3}+\frac{a_{3}a_{4}}{2}+\frac{a_{3}a_{4}a_{5}}{2^2}+...+\frac{a_{3}a_{4}...a_{n}}{2^{n-3}}).45^{\circ}}}$

$=....=a_{1}\sqrt{2+a_{2}\sqrt{2+a_{3}\sqrt{2+....+a_{n}\sqrt{2}}}}$ (đpcm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NMD202: 07-03-2018 - 23:24

@NguyenMinhDuy - frTK19.LQĐ.BĐ 

Bài hình CĐT LQĐ Bình Định  https://diendantoanh...ường-thẳng-qua/





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh