Chủ đề này có 2 trả lời

[euler98]

Cho $a$ $,$ $b$ $,$ $c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng :
$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \geq \frac{a + b}{b + c} + \frac{b + c}{a + b} + 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 06-01-2013 - 08:24

[tramyvodoi]

cho a,b,c là các số thực dương .Chứng minh rằng
$\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
$\frac{a}{b}-\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c}-\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a}-\frac{c}{a+b}\geq \frac{b}{a+b}+1$
$\Leftrightarrow \frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^{2}}{c(b+c)}+\frac{bc}{a(a+b)}\geq \frac{a+2b}{a+b}$
Theo C-S:
$\frac{ca}{b(b+c)}+\frac{b^{2}}{c(b+c)}=\frac{a}{c(b+c)}(\frac{c^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a})\geq \frac{a}{c(b+c)}\frac{(c+b)^{2}}{b+a}\geq \frac{a(b+c)}{c(a+b)}$
Ta cần chứng minh:
$\frac{a(b+c)}{c}+\frac{bc}{a}\geq a+2b$
$\Leftrightarrow \frac{b(c-a)^{2}}{ca}\geq 0$ (luôn đúng)

[KietLW9]

Cho a,b,c$> 0$ CM $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\geq \frac{a+b}{b+c}+\frac{b+c}{a+b}+1$ - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học