Crystal

Em dùng toàn số 1 với $t^{2014}$ là mũ chẵn thì vốn nó không âm mà,đoạn sau đánh giá thêm $|t|\geq t$ là được thôi chứ không nhầm đâu anh.

Chính xác là với $t^{2014}$ và 2013 số 1 thì không âm. Nếu em làm theo cách này thì đúng như em nói cần bổ sung thêm đánh giá phía sau.

Ta có :

$2014t-t^{2014}=2013 $

Lấy đạo hàm 2 vế, ta được :

$2014-2014.t^{2013}=0 \Leftrightarrow t=1.$

Thử lại thỏa mãn.........

- Đây gọi là phương pháp gì em?

- Cơ sở nào em có thể kết luận như vậy?

- Nếu thử lại thấy đúng thì như thế nào em?

Em có thể trình bày rõ hơn cách em đang làm chứ.

Này thì cách hay:
$PT\Leftrightarrow t^{2014}+2013=2014t$

Theo BĐT AM-GM: $VT=t^{2014}+1+1+...+1\geq 2014\sqrt[2014]{t^{2014}}\geq 2014t.$

Dấu "=" khi t=1.

 

Thế này đã được chưa ạ?

Kết quả thì đã chính xác rồi đó em. Nhưng có một lỗi em mắc phải là khi áp dụng BĐT AM-GM, điều kiện là nguyên không âm. Em bổ sung thêm chắc là ổn hơn đó.

Còn cách nào khác hay hơn xí không em?

@@ Anh cổ vũ cho cả 2 

Bài toán: Giải phương trình $t\left( {2014 - {t^{2013}}} \right) = 2013$.

P/s: Có ai thức xem WC vào giải chơi 

\[\int\limits_0^1 {f\left( { - t} \right)dt}  = \int\limits_0^1 {f\left( { - x} \right)dx} \,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Chào bạn,

Lý do để sách đưa ra lời giải như vậy là dựa vào tính chất của tích phân xác định: Tích phân xác định chỉ phụ thuộc vào hàm số lấy tích phân, cận số mà không phụ thuộc vào cách ký hiệu các biến số tích phân. Điều này có nghĩa là:

Với tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx$ thì ta cũng có được $\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = \int\limits_a^b {f\left( t \right)dt}  = \int\limits_a^b {f\left( z \right)} dz = \int\limits_a^b {f\left( v \right)} dv$, v.v...

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=1 & \\ u_{n+1}=\frac{u_n^2}{2014}+u_n & \end{matrix}\right.$ 

 

Tìm: $lim(\frac{u_1}{u_2}+\frac{u_2}{u_3}+...+\frac{u_n}{u_{n+1}})$

Ta có: \[{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{2014}} \Leftrightarrow \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}} = 2014\left( {\frac{1}{{{u_n}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\]

Suy ra: \[\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{{{u_k}}}{{{u_{k + 1}}}}} \right)}  = 2014\left( {\frac{1}{{{u_1}}} - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\left( {1 - \frac{1}{{{u_{n + 1}}}}} \right)\,\,\,\,\,\left( * \right)\]

Từ công thức của $\left\{ {{u_n}} \right\}$ ta dễ dàng suy ra đây là dãy đơn điệu tăng.

Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ bị chặn trên, khi đó tồn tại giới hạn hữu hạn: $L = \mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}$. Hay $L = \frac{{{L^2}}}{{2014}} + L \Rightarrow L = 0$.

Điều nay mâu thuẫn với điều ta đã suy ra: $\left\{ {{u_n}} \right\}$ là dãy đơn điệu tăng với ${u_1} = 1$.

Nếu $\left\{ {{u_n}} \right\}$ không bị chặn trên, do đó ta có $\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n} =  + \infty $. Từ $\left( * \right)$ suy ra:

\[\mathop {\lim }\limits_{n \to  + \infty } {u_n}\left( {\frac{{{u_1}}}{{{u_2}}} + \frac{{{u_2}}}{{{u_3}}} + ... + \frac{{{u_n}}}{{{u_{n + 1}}}}} \right) = 2014\]

Giải phương trình:

$\sqrt{5x^2+14x+9}-\sqrt{x^2-x-20}=5\sqrt{x+1}$

Ví dụ 21: Giải phương trình
$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$
Lời giải:
ĐK : $ x \geq 5$
Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:
$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$
$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$
Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:
$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$
* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$
* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$
Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

Bạn xem thêm tại đây.

Ba

 

Bạn gõ lại cho rõ hơn đi được không ?

Đề đã rõ rồi đó bạn. Cùng thảo luận nhé.

Tìm m để phương trình $x^4+bx^3+x^2+bx+1$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt

đầu bài sai rồi thì phải tìm b chứ nhỉ?

Bài này có 2 chỗ nhầm hơi vô duyên.

ER1: Đề bài cho không phải là phương trình mà là đa thức.

Phải là: \[{x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0\]

ER2: Như bạn đã nói, đề cho là $b$, nhưng bảo tìm $m$.

Với đề bài: Tìm $b$ để phương trình ${x^4} + b{x^3} + {x^2} + bx + 1 = 0$ có không ít hơn 2 nghiệm âm phân biệt.

Hướng dẫn:

Bước 1: Nhận thấy $x \ne 0$. Chia 2 vế của phương trình cho ${x^2} \ne 0 $ ta được:

\[{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^2} + b\left( {x + \frac{1}{x}} \right) - 1 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\]

Bước 2: Đặt $t = x + \frac{1}{x}$, tìm điều kiện cho $t$ thoả mãn $x$ đầu bài.

Bưóc 3: Khi đó ta có phương trình: ${t^2} + bt - 1 = 0\,\,\left( 2 \right)$

Bước 4: Tìm $b$ để phương trình $(2)$ có nghiệm $t$ thoả mãn điều kiện đã tìm.

Tìm các số nguyên dương m, n sao cho các số $m^2+8n$ và $n^2+8m$ đều là số chính phương 

Em tham khảo thêm ở topi này nhé: http://diendantoanho...phương-thi-hsg/

Giải PT: $(x+2)(x+3)(x+4)(x+6)=420x^2$

Chào các em. Bài này thuộc dạng cơ bản có thể giải dễ dàng bằng phương pháp nhóm rồi đặt ẩn phụ trong họ bài toán giải phương trình bậc 4.

Anh có nhận xét thế này: 2 lời giải trên đã đi đúng hướng (kết quả anh không kiểm tra có dúng không) nhưng nếu các bạn tính toán không sai thì chắc là ok :-).

Lời giải 1: Em đã cẩn thận khi nhận ra $x \ne 0$. Có bước này mới suy ra được bước 2. Em phân tích đúng nhưng đến đoạn đặt ẩn phụ thì em làm chưa tốt lắm. Trong tính toán thì các em không nên chọn các số thập phân như trên (nên hạn chế), chọn như vậy sẽ làm cho phần tính toán có thể không được "trôi chảy" cho lắm.

\[\left( {x + \frac{{12}}{x} + 8} \right)\left( {x + \frac{{12}}{x} + 7} \right) = 420\]

Đến đây nếu em tinh tế thêm xí thì có thể nhận ra ngay ẩn phụ cần đặt là gì để làm cho bài toán trở nên đơn giản hơn, ý anh nói ở đây là đơn giản trong hình thức, chứ bản chất bài toán sẽ không thay đổi đâu.

Giải pháp: Đặt $t = x + \frac{{12}}{x} + 7$ hoặc $t = x + \frac{{12}}{x} + 8$. Khi đó ta sẽ có phương trình: $\left( {t + 1} \right)t = 420 \Rightarrow {t^2} + t - 420 = 0\,\,\,\left( 1 \right)$ hoặc  $t\left( {t - 1} \right) = 420 \Rightarrow {t^2} - t - 420 = 0\,\,\,\left( 2 \right)$.

Hai phương trình $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ đều có nghiệm đẹp và chúng ta hoàn toàn có thể đoán nghiệm nó. Rất đơn giản đúng không nào!

Lời giải 2: Em đã phần nào tự làm khó mình khi đặt ẩn như vậy, nhìn nó sao sao ý :-). Em nên tham khảo cách phân tích của lời giải đầu kết hợp một số nhận xét "ngu" của anh nhé.

Nhân dịp năm mới gần đến, anh cũng chúc các em sức khỏe, học tập tốt.

Bài toán : Giải phương trình hàm : (Singapore IMO TST 2008, Problem)

$(x+y)(f(x)-f(y)) = (x-y)f(x+y)\,\,\,(*)$

Lời giải 1:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Trong $(*)$ cho $y=2$, ta được: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Trong $(*)$ cho $y=1$, ta được: $$f\left( {x + 1} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Suy ra: $$f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( 1 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 1 \right)} \right) - f\left( 1 \right)} \right)$$
Do đó: $$ \Leftrightarrow f\left( {x + 2} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)$$
Từ (1) và (2), ta được: $$\dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 2}}{x}\left( {\dfrac{{x + 1}}{{x - 1}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{x}{{x - 1}}} \right)$$
$$ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x - 2}}\left( {f\left( x \right) - f\left( 2 \right)} \right) = \dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}}f\left( x \right) - 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}}$$
$$ \Leftrightarrow 2f\left( 1 \right)\dfrac{1}{{x - 1}} - \dfrac{1}{{x - 2}}f\left( 2 \right) = \left( {\dfrac{{x + 1}}{{x\left( {x - 1} \right)}} - \dfrac{1}{{x - 2}}} \right)f\left( x \right)$$
$$ \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}\left( {x - 1} \right)x - f\left( 1 \right)\left( {x - 2} \right)x = \left( {\dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2} - f\left( 1 \right)} \right){x^2} + \left( {2f\left( 1 \right) - \dfrac{{f\left( 2 \right)}}{2}} \right)x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
________________________________________________________________
Lời giải 2:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Đặt $P\left( {x,y} \right)$ là hàm của $\left( {x + y} \right)\left( {f\left( x \right) - f\left( y \right)} \right) = \left( {x - y} \right)f\left( {x + y} \right)$

Khi đó: $$P\left( {x + 1, - x} \right):\,\,f\left( {x + 1} \right) - f\left( { - x} \right) = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
$$P\left( { - x,x - 1} \right):\,\, - f\left( { - x} \right) + f\left( {x - 1} \right) = \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right)\,\,\,\,\,\,(2)$$
$$P\left( {x + 1,x - 1} \right):\,\,2x\left( {f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right)} \right) = 2f\left( {2x} \right) \Leftrightarrow f\left( {x + 1} \right) - f\left( {x - 1} \right) = \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,(3)$$
Lấy $(1) - (2) - (3)$, ta được: $$0 = \left( {2x + 1} \right)f\left( 1 \right) - \left( {1 - 2x} \right)f\left( { - 1} \right) - \dfrac{{f\left( {2x} \right)}}{x}$$
$$ \Leftrightarrow f\left( {2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) + f\left( { - 1} \right)} \right){\left( {2x} \right)^2} + \dfrac{1}{2}\left( {f\left( 1 \right) - f\left( { - 1} \right)} \right)2x$$
Suy ra: $f\left( x \right) = a{x^2} + bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = a{x^2} + bx\,\,\,\,\left( {\,a,b \in \mathbb{R}} \right)$
_______________________________________________________________
Lời giải 3:

Giả sử tồn tại hàm số $f\left( x \right)$ thoả mãn bài toán.

Từ phương trình $(*)$ suy ra: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right)$$
Ta có: $$f\left( x \right) - f\left( y \right) = f\left( x \right) - f\left( z \right) + f\left( z \right) - f\left( y \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)$$
Từ đó cho ta: $$\dfrac{{x - y}}{{x + y}}f\left( {x + y} \right) = \dfrac{{x - z}}{{x + z}}f\left( {x + z} \right) + \dfrac{{z - y}}{{z + y}}f\left( {z + y} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)$$
Đặt: $y + z = a;z + x = b;x + y = c$, khi đó $(1)$ trở thành:
$$\dfrac{{b - a}}{c}f\left( c \right) = \dfrac{{c - a}}{b}f\left( b \right) + \dfrac{{b - c}}{a}f\left( a \right)$$
Cố định $a,b \Rightarrow f\left( a \right),f\left( b \right)$ không đổi, ta được:
$$f\left( c \right) = \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{{f\left( a \right)}}{a} - \dfrac{{f\left( b \right)}}{b}} \right)} \right){c^2} + \left( {\dfrac{1}{{a - b}}\left( {\dfrac{a}{b}f\left( b \right) - \dfrac{b}{a}f\left( a \right)} \right)} \right)c$$
Suy ra: $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx,\,\,\,\forall x \in \mathbb{R}$. Thử lại thấy thoả phương trình $(*)$.

Vậy hàm số cần tìm là $f\left( x \right) = A{x^2} + Bx\,\,\,\,\left( {\,A,B \in \mathbb{R}} \right)$

Trích tại đây

Giải phương trình:

$\sqrt {5x^2  + 14x + 9}  - \sqrt {x^2  - x - 20}  = 5\sqrt {x + 1} $
 

 

Ví dụ 21: Giải phương trình

$$\sqrt{5x^2 - 14x + 9} - \sqrt{x^2 - x - 20} = 5\sqrt{x + 1}, \ \ (1)$$

Lời giải:

ĐK : $ x \geq 5$

Chuyển vế rồi bình phương hai vế, ta được:

$$ (x + 1)(5x + 9) = x^2 + 24x + 5 + 10\sqrt{(x + 4)(x - 5)(x + 1)}$$

$\Leftrightarrow 2(x^2 - 4x - 5) + 3(x + 4) - 5\sqrt{(x^2 - 4x - 5)(x + 4)} = 0,\ \ \ (2)$

Đặt $ u = \sqrt{(x^2 - 4x - 5)}$ và $ v = \sqrt{x + 4} , u,v \geq 0 .$ Thì:

$$(2)\Leftrightarrow 2u^2 + 3v^2 - 5uv = 0 \Leftrightarrow (u - v)(2u - 3v) = 0$$

* $ u = v$ ta có :$ x^2 - 5x - 9 = 0$

* $ 2u = 3v$ ta có : $ 4x^2 - 25x - 56 = 0$

Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn: $ x = \dfrac{5 + \sqrt{61} }{2} , x = 8$

 

 

Trích Phương pháp đặt ẩn số phụ trong giải phương trình vô tỉ

Tìm m để phương trình có nghiệm:$\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-m\sqrt{1-x^{2}}+m+2=0$

Gợi ý:

Điều kiện: $1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow {x^2} \le 1 \Leftrightarrow x \in \left[ { - 1;1} \right]$

Đặt $t = \sqrt {1 + x}  + \sqrt {1 - x}  \Rightarrow {t^2} = 2 + 2\sqrt {1 - {x^2}}  \Rightarrow \sqrt {1 - {x^2}}  = \frac{{{t^2} - 2}}{2}$. Dựa vào $x$ để tìm điều kiện của $t$.

Khi đó: \[t - m\left( {\frac{{{t^2} - 2}}{2}} \right) + m + 2 = 0\]

Tham khảo tiếp tại đây.