Tìm kiếm
Nữ
HÌnh như đề đúng ra là thế này phải không? : Với $a,b,c \in\mathbb{Q}$ : $a+b.\sqrt[2]{3}+c.\sqrt[3]{4} = 0\Leftrightarrow a=b=c=0$
* $(\Leftarrow) :$ Hiển nhiên đúng.
* $(\Rightarrow) :$ $(gt)\Rightarrow -4c^3=(a+b\sqrt[2]{3})^3=a^3+3a^2b.\sqrt{3}+9ab^2+3b^3.\sqrt{3}$ $=a^3+9ab^2+3b(a^2+b^2).\sqrt{3}$
$\Rightarrow -(4c^3+a^3+9ab^2)=3b(a^2+b^2).\sqrt{3}$. (1)
- Nếu $3b(a^2+b^2)\ne0$ thì $(1)\Rightarrow \sqrt{3}=-\frac{4c^3+a^3+9ab^2}{3b(a^2+b^2)}\in\mathbb{Q}$ !(Vô lý vì $\sqrt{3}$ là số vô tỷ, không phải số hữu tỷ, điều này chắc
ai cũng biết CM).
Suy ra $4c^3+a^3+9ab^2=3b(a^2+b^2)=0$. (2)
- Nếu $a\ne0\overset{(2)}{\Rightarrow}b=0$ và $4c^3+a^3=0\Rightarrow c\ne0$ và $\sqrt[3]{4}=\frac{-a}{c}\in\mathbb{Q}$ ! (Vô lý vì $\sqrt[3]{4}$ là số vô tỷ, không phải số hữu tỷ, dùng tính
chia hết trong $\mathbb{Z}$ để CM).
Suy ra $a=0\overset{(2)}{\Rightarrow}b=0$ và $c=0$.
Vậy ta có đpcm.
đề đúng là $a + b^3 \sqrt{3}+ c^3 \sqrt{4}= 0$ ,CM :a=b=c=0
