xxSneezixx

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} & \end{matrix}\right.$

Giải: 

$\left\{\begin{matrix} x^{2}-\frac{3y}{2}+\frac{y^{2}}{x^{2}} & =\frac{7x}{2y} (1) & \\ y^{2}-\frac{3x}{2}+\frac{x^{2}}{y^{2}} & =\frac{7y}{2x} (2) & \end{matrix}\right. (x, y \neq 0) $

$(1)- (2)\Leftrightarrow x=y \vee x+y +\frac{3}{2} - \frac{(x+y)(x^2 +y^2)}{x^2 y^2}= \frac{7(x+y)}{2xy}(3)$

$(1)+(2)\Leftrightarrow x^2 +y^2 -\frac{3}{2}(x+y) + \left(\frac{x^2}{y^2 }+ \frac{y^2 }{x^2} \right )= \frac{7}{2}\left(\frac{x^2 +y^2}{xy}\right)( 4) $

Đặt $S= x+y, P= xy ( S^2 -4P \geq 0)  $, ta có: 

$(3)\wedge (4)\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}-S^3 -\frac{3}{2}PS + P^2S+ \frac{3}{2}P^2 =0 (5) \\ S^4 - \frac{15}{2}PS^2 +P^2S^2- \frac{3}{2}P^2S +9P^2 - 2P^3 =0  (6)\end{matrix}\right.$

$S(5)+ (6)\Leftrightarrow P= \frac{9}{2}\vee P=0(L) \vee S^2 = P(L)$

$\bullet x =y, (1)\Leftrightarrow x= \frac{5}{2 }\vee x= -1$

$\bullet P = \frac{9}{2}, (5) \Leftrightarrow x= 3 \vee x =\frac{3}{2}$

Thử lại thấy thỏa. 

Vậy $\left(x,y \right )= \left(\frac{5}{2}, \frac{5}{2}\right), (-1,-1), \left(\frac{3}{2},3\right ), \left(3 ,\frac{3}{2}\right )$

p/s : ko biết có cách nào ngắn hơn ko :v 

Giúp mình bài này với ạ, phương trình 1 nhóm lại được thành nhân tử dễ dàng, nhưng thay vào pt 2 thì mình nghĩ k ra cách giải

$\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 +y^2=2(1+\frac{1-y^2}{x}) & \\4y^2=(y^2-x^3+3x-2)(\sqrt{2-x^2}+1) & \end{matrix}\right.$

Giải : 

$\left\{\begin{matrix} (x+1)^2 +y^2=2(1+\frac{1-y^2}{x}) (1) & \\4y^2=(y^2-x^3+3x-2)(\sqrt{2-x^2}+1) (2) & \end{matrix}\right. \mathbb{D}= \left[-\sqrt{2}, \sqrt{2} \right ]$

$(1)\Leftrightarrow x^2 +y^2 =1(3) \vee x= -2(L)$

Thế $(3)$ vào $(2)$, ta có: 

$(2)\Leftrightarrow 4(1-x^2)= (-1-x^2 +3x -x^2)(\sqrt{2-x^2}+1 )$

$\Leftrightarrow x= 1 \vee x= -1(L) \vee 4( \sqrt{2-x^2})= (x-1)(-x^2 -2x+1 )(4)$

Đặt: $f(x)= 4( \sqrt{2-x^2}+1), g(x)= (x-1)( -x^2 - 2x+1 )$

Ta nhận thấy $\forall x \in \mathbb{D}, f(x)\geq 4 \wedge g(x)\leq \frac{4}{27}(5\sqrt{10}-14 )$

Vậy $(x,y) = ( 1,0) $ 

Giải PT: $x+\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+2}}=\sqrt{2}$

Giải: 

Đặt $a=\sqrt {x^2 +2 }, b= x$

Ta có: $\left\{\begin{matrix} ab + 2b = a\sqrt{2} (1) \\ a^2 -2 = b^2 (2) \end{matrix}\right.$

$(1)\Leftrightarrow b= \frac{a\sqrt{2}}{a+2}(3)$

Thế $(3) $ vào $(2)$, ta được: $(2)\Leftrightarrow a^4 + 4a^3 -8a -8 =0 $

$\Leftrightarrow (a^2 +2a )^2- 4(a^2 + 2a) -8 =0$

Tới đây thì giải ra rồi thử lại là xong !! 

 

\left\{\begin{matrix}

xy-3x-2y=16 & \\x^2+y^2-2x-2y=33 

 & 

\end{matrix}\right.

 

Gợi ý: 

Đặt $S= x+y, P =xy $ rồi giải tiếp 

Có ai có cách giải tổng quát cho hệ phương trình này ko ạ?

 

$\left\{\begin{matrix}a_{1}x^2+b_{1}x+c_{1}y^2+d_{1}y+e_{1}=0 & \\ a_{2}x^2+b_{2}x+c_{2}y^2+d_{2}y+e_{2}=0 & \end{matrix}\right.$

Bạn tham khảo ở đây