Bài 1:
Bổ đề: Cho hai dãy số $({{a}_{n}}),({{b}_{n}})$ không âm và số thực $q\in (-1;1)$ thỏa mãn: ${{a}_{n+1}}\le q{{a}_{n}}+{{b}_{n}}$. Khi đó nếu $\lim {{b}_{n}}=0$ thì $\lim {{a}_{n}}=0$.
Quay lại bài toán:
Ta có: \[{{u}_{n+1}}=1+{{\left( {{u}_{n}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{n+2499}>1\,\,\,,n\ge 1\].
Ta chứng minh bằng quy nạp ${{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$.
Thật vậy, $1<{{u}_{1}}<\frac{3}{2}$.
Ta giả sử $1<{{u}_{k}}<\frac{3}{2}$ với $k\ge 1$, ta có: \[{{u}_{k+1}}=1+{{\left( {{u}_{k}}-1 \right)}^{2}}+\frac{1}{k+2499}<\frac{5}{4}+\frac{1}{4}=\frac{3}{2}\]
Vậy, $1<{{u}_{n}}<\frac{3}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$. Do đó: $0<{{u}_{n}}-1<\frac{1}{2}\,\,\,,\forall n\ge 1$
Mặt khác: \[{{u}_{n+1}}-1=\left( {{u}_{n}}-1 \right).\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\le \frac{1}{2}\left( {{u}_{n}}-1 \right)+\frac{1}{n+2499}\].
Áp dụng bổ đề trên ta suy ra: $\lim {{u}_{n}}=1$.
- Dang Hong Ngoc yêu thích