tìm tất cả các stn n sao cho n chia hết cho [$\sqrt{n}$]
- tpdtthltvp yêu thích
Gửi bởi ngocminhxd trong 05-09-2016 - 16:22
Gửi bởi ngocminhxd trong 31-05-2016 - 20:56
Cho $a,b,c \ge 0$ thõa mãn $a+b+c=3$. Tìm $\max$ biểu thức sau
$$P=\frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+c}+\frac{c^2}{2(c+1)^2+a}$$
$P=\frac{a^2}{2(a+1)^2+b}+\frac{b^2}{2(b+1)^2+c}+\frac{c^2}{2(c+1)^2+a}\leq \frac{a^2}{8a+b}+\frac{b^2}{8b+c}+\frac{c^2}{8c+a}\leq \frac{(a+b+c)^{2}}{8a+b+8b+c+8c+a}= \frac{1}{3}=> P_{max}=\frac{1}{3}<=>a=b=c=1$
Gửi bởi ngocminhxd trong 20-05-2016 - 11:47
tớ biết giải rồi nè
$A=\frac{2(a+b)^{2}}{2a+3b}+\frac{(b+2c)^{2}}{2b+c}+\frac{(2c+a)^{2}}{c+2a}$
áp dụng bất đẳng thức cô si cho từng tử ta được
$A\geq \frac{8ab}{2a+2b}+\frac{8bc}{2b+c}+\frac{8ca}{c+2a}=8B(B=\frac{ab}{2a+2b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{c+2a})$
$B=\frac{ab}{2a+2b}+\frac{bc}{2b+c}+\frac{ca}{c+2a}$
đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z}$
=>$B=\frac{1}{3x+2y}+\frac{1}{2z+y}+\frac{1}{2z+x}\geq \frac{9}{4x+4z+3y}$
mặt khác $\frac{ac(b-1)}{b(a+c)}=\frac{4}{3}=>4x+4z+3y=3$=>$=>B\geq 3=>A\geq 24$
vậy A đạt GTNN là 24 khi và chỉ khi a=b=5,c=5/2
Gửi bởi ngocminhxd trong 14-05-2016 - 21:19
Gửi bởi ngocminhxd trong 14-05-2016 - 21:16
1. $y(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})+\frac{1}{y}(x+z)\leq (x+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{z})<=>y\frac{x+z}{xz}+\frac{x+z}{y}\leq \frac{(x+z)^{2}}{xz}=>\frac{y}{xz}+\frac{1}{y}\leq \frac{x+z}{xz}=>yx+yz-xz-y^{2}\geq 0 => (y-x)(z-y)\geq 0$ (luôn đúng do $z\geq y\geq x> 0)$
Gửi bởi ngocminhxd trong 14-05-2016 - 21:10
tớ có cách giải bài 2 khác nek
$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}$
đặt $a=\frac{1}{x},b=\frac{1}{y},c=\frac{1}{z} =>abc=\frac{1}{xyz}=1$
$x+y= c(a+b),y+z=a(b+c),z=b(a+c)$
$\frac{1}{a^{2}(b+c)}+\frac{1}{b^{2}(a+c)}+\frac{1}{c^{2}(b+a)}$ $=\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$ (cái này đã cmđ)
Gửi bởi ngocminhxd trong 14-05-2016 - 21:00
1, $a^{2}+1\geq 2a,b^{2}+1\geq 2b =>a^{2}+b^{2}\geq 2$
$a^{4}+1\geq 2a^{2},b^{4}+1\geq 2a^{2}=>a^{4}+b^{4}\geq 2$
Gửi bởi ngocminhxd trong 14-05-2016 - 15:59
Bài 5. Đặt $t=x^{2}-9x+14$
$(x-1)(x-4)(x-5)(x-8)=[(x-1)(x-8)][(x-4)(x-5)]=(x^{2}-9x+8)(x^{2}-9x+20)=(t-6)(t+6)=t^{2}-36\Rightarrow (x-1)(x-4)(x-5)(x-8)+37=t^{2}-36+37=t^{2}+1> 0$
Bài 1. Ta có $(a-b)^{2}+(a-1)^{2}+(b-1)^{2}\geq 0\Leftrightarrow 2a^{2}+2b^{2}-2ab-2a-2b+2\geq 0 \Rightarrow 3a^{2}+3b^{2}-2ab-2a-2b+3\geq a^{2}+b^{2}+1\Rightarrow 3a^{2}+3b^{2}+3\geq a^{2}+b^{2}+1 +2a+2b+2ab\Rightarrow 3(a^{2}+b^{2}+1)\geq (a+b+1)^{2}$
Bài 2. Ta có $-2\leq a\leq 3=>(a+2)(3-a)\geq 0=>a+6\geq a^{2}$
tương tự ta có $b+6\geq b^{2}$
$c+6\geq c^{2}$
cộng từng vế ta có đpcm
Gửi bởi ngocminhxd trong 14-05-2016 - 15:21
thầy tớ chỉ thế này nek còn 1 cái nz tớ chưa lm ra cậu xem thử nha
$1^{2}+2^{2}+...+n^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
đặt $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=a^{2}(a> 1)$
=>$6n(n+1)(2n+1)=36a^{2}=>(6n^{2}+6n)(2n+1)=36a^{2}$
Gọi d là UCLN$(6n^{2}+6n,2n+1)=>d\in(1,3)$
d=1=>$6n^{2}+6n,2n+1$ là 2 số chính phương và 2n+1 là số chính phương lẻ lớn hơn 3
2n+1=9=>n=4=>$6n^{2}+6n=120$ không là số chính phương (loại)
2n+1=25=>n=12=>$6n^{2}+6n=936$ không là số chính phương (loại)
2n+1=49=>n=24=>$6n^{2}+6n=60^2 là số chính phương
vì n nhỏ nhất nên chọn n=24
d=3 chứng minh n>24 cơ mak tớ chưa chứng minh được
Gửi bởi ngocminhxd trong 11-05-2016 - 19:05
cho 2 phương trình $$ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$$ và $mx^{2}+nx+p=0(m\neq 0)$
CMR nếu ít nhất 1 trong 2 phương trình trên vô nghiệm thì phương trình sau luôn có nghiệm
$(an-mb)x^{2}+2(ap-mc)x+bp-nc=0$
Gửi bởi ngocminhxd trong 02-05-2016 - 09:30
Cho (O). Vẽ 2 dây AB và EF cắt nhau tại I( I nằm trong đường tròn). Gọi M là trung điểm BF, Mi cắt AE tại N . Chứng minh $\frac{AN}{NE}=\frac{AI^{2}}{EI^{2}}$
Gửi bởi ngocminhxd trong 16-04-2016 - 20:01
đặt a+b=x,b+c=y,c+a=z
=>a+b+c=$\frac{x+y+z}{2}=>a=\frac{y+z-x}{2}$
tt ta có $b=\frac{z+x-y}{2}$$
$c=\frac{y+x-z}{2}$$
ta có $(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})(a+b+c)\geq \frac{3}{2}(a+b+c)=> (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})(a+b+c)\geq \frac{9}{2} =>\frac{a^{2}+ab+ac}{b+c}+\frac{ab+b^{2}+bc}{a+c}+\frac{ac+bc+c^{2}}{a+b}\geq \frac{9}{2}=>\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}+a+b+c\geq \frac{9}{2}=>\frac{a^{2}}{b+c}+\frac{b^{2}}{c+a}+\frac{c^{2}}{a+b}\geq \frac{3}{2}$
Gửi bởi ngocminhxd trong 14-04-2016 - 19:40
có 100 cây kẹo trên bàn. hai bạn bốc lần lượt k cây ($1\leqslant k\leq 3$) cho đến hết. Người nào bốc được cây cuối cùng là người chiến thắng. Hỏi bạn nào nắm chắc phần thắng và thủ thuật là gì?
Gửi bởi ngocminhxd trong 03-04-2016 - 08:36
Community Forum Software by IP.Board
Licensed to: Diễn đàn Toán học