lily evans

a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng 

Từ A kẻ tiếp tuyến Ax với (O)

Dễ dàng chứng minh MN song song với Ax nên AO vuông góc với MN, mà AK vuông góc với MN nên A, K, O thẳng hàng

Từ A kẻ đường thẳng song song EC, từ C kẻ đường thẳng song song AD, hai đường thẳng cắt nhau tại K.

AHKC là hình bình hành nên H, N, K thẳng hàng.

$\angle BAK=\angle BCK=90^{\circ}$ nên BK là đường kính của (O)$\Rightarrow \angle BMK=90^{\circ}$ mà $\angle BMH=\angle BEH=90^{\circ}$ nên M, H, K thẳng hàng.

Vậy M, H, N thẳng hàng.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình : $x^{3}+y^{3}+z^{3}=3x^{2}y^{2}z^{2}$ 

Không mất tính tổng quát, ta giả sử:

$x\geq y\geq z$

Ta có:

$3x^{2}y^{2}z^{2}= x^{3}+y^{3}+z^{3}\leq 3x^{3}\Leftrightarrow y^{2}z^{2}\leq x\Leftrightarrow y^{4}z^{4}\leq x^{2}$

Lại có:

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=3x^{2}y^{2}z^{2}\Rightarrow x^{3}+y^{3}+z^{3}\vdots x^{2}\Rightarrow y^{3}+z^{3}\vdots x^{2}\Rightarrow x^{2}\leq y^{3}+z^{3}\Rightarrow y^{4}z^{4}\leq x^{2}\leq y^{3}+z^{3}\leq 2y^{3}\Leftrightarrow yz^{4}\leq 2$

Đến đây bạn tự xét trường hợp nhé!

Mình cũng làm tới đây rồi nhưng sao chứng minh $(\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ca+c+1})^{2}=1$ bạn???

Biến đổi $\frac{b}{bc+b+1}=\frac{b}{bc+b+abc}=\frac{1}{c+1+ac}=\frac{abc}{c+abc+ac}=\frac{ab}{1+ab+a}$

Tương tự:

$\frac{c}{ca+c+1}=\frac{1}{ab+a+1}$

Cộng 3 cái lại là được.

Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng, theo thứ tự đó vẽ đtròn (O) thay đổi đi qua A,B. Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB vẽ đường kính PQ cắt AB tại D.  CP cắt (O) tại I:

 

Chứng minh đường tròn (O) thay đổi thì QI luôn đi qua điểm cố định

Gọi F là giao điểm của QI và AC.

Ta có:

$\angle D=\angle I=90^{\circ}\Rightarrow \Delta CIF\sim \Delta CDP(g.g)\Rightarrow CF.CD=CI.CP=CB.CA\Rightarrow CF=\frac{CB.CA}{CD}$ cố định nên Fcố định

Vậy QI luôn đi qua F cố định

$cho    a;b;c\geq 0.tìm   min    của     p=\sum \sqrt[4]{\frac{a}{b+c}}$       (thi thu vong 1 dot 2 khoa hoc tu nhien 2016-2017)

Đã có ở đây:

http://diendantoanho...ab/#entry628488

giai he phuong trinh :

x= y^3 - 5y^2 + 8y - 3

y= -2x^3 + 10x^2 - 16x + 9 

$\left\{\begin{matrix} x=y^{3}-5y^{2}+8y-3\\ y=2x^{3}+10x^{2}-16x+9 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-1=(y-1)(y-2)^{2}\\ y-1=2(1-x)(x-2)^{2} \end{matrix}\right.\Rightarrow (x-1)(y-1)=2(1-x)(y-1)(x-2)^{2}(y-2)^{2}\Leftrightarrow (x-1)(y-1)(1+2(x-2)^{2}(y-2)^{2})=0\Rightarrow$ x=1 hoặc y=1

Đến đây bạn tự giải tiếp nha!

Bài 417:

http://diendantoanho...endmatrixright/

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC).Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.

b) Trên cung nhỏ AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB. Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: 

ii) Ba đường thẳng AF, ED, HK song song với nhau từng đôi một.

$\angle BDC=\angle BKC=90^{\circ}\Rightarrow BDKCnt\Rightarrow \angle DKE=\angle DCB=\angle DAB=\angle DHE\Rightarrow DEHKnt\Rightarrow \angle DHK=\angle DEF=\angle DAF\Rightarrow HK//AF$

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC).Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.

 

b) Trên cung nhỏ AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB. Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: 

i) $BA^{2}$=BE.BF và $\widehat{BHE}=\widehat{BFC}$

 

$\Delta BAE\sim \Delta BFA(g.g)\Rightarrow \frac{BA}{BE}=\frac{BF}{BA}\Rightarrow BA^{2}=BE.BF$

Ta lại có:

$BA^{2}=BH.BC\Rightarrow BH.BC=BE.BF\Rightarrow \Delta BHE\sim \Delta BFC\Rightarrow \angle BHE=\angle BFC$

Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ( H thuộc BC).Vẽ đường tròn (C) có tâm C, bán kính CA. Đường thẳng AH cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là D.

a) Chứng minh: BD là tiếp tuyến của đường tròn (C)

b) Trên cung nhỏ AD của đường tròn (C) lấy điểm E sao cho HE song song với AB. Đường thẳng BE cắt đường tròn (C) tại điểm thứ hai là F. Gọi K là trung điểm của EF. Chứng minh rằng: 

i) $BA^{2}$=BE.BF và $\widehat{BHE}=\widehat{BFC}$

ii) Ba đường thẳng AF, ED, HK song song với nhau từng đôi một.

a) $\Delta _{BAC}=\Delta _{BDC}\Rightarrow$ BD vuông góc DC

bài 2 bạn xem ở đây nhé:

http://diendantoanho...qrt39-x2x23x-1/

Cho các số thực x, y, z thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}\\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$

Chứng minh x=y=z

 

Nhằm phục vụ các bạn thi học sinh giỏi Toán 9, mình xin lập Topic này để cùng các bạn ôn luyện với nhau.

Một số quy định của Topic

1. Khi đăng bài các bạn cần đặt tên chuyên đề trên cùng.
2. Cần phải tôn trọng lẫn nhau, không nói tục, chửi thề,...
3. Mọi người cần tham gia đóng góp bài tập, lời giải

Cảm ơn các bạn đã tham gia Topic 

 

Bạn đăng trước đi.

Chọn $A_{1}$ sao cho từ $A_{1}$ có thể nhìn tất cả các điểm còn lại dưới một góc bé thua góc bẹt.

Nối $A_{1}A_{2}$ ($A_{2}$ nằm trên của góc nhỏ nhất sao cho từ $A_{1}$ có thể nhìn tất cả các điểm còn lại dưới góc đó)

Chọn $A_{3}$ sao cho $A_{1}A_{3}$  chia mặt phẳng trên thành hai nửa mặt phẳng, một nửa mặt phẳng chứa $A_{2}$ và nửa mặt phẳng kia chứa 2006 điểm còn lại. Nối $A_{1}A_{3}$, $A_{3}A_{2}$, tạo tam giác $A_{1}A_{2}A_{3}$, gọi là tam giác 1.

Chọn $A_{4}$ sao cho $A_{1}A_{4}$  chia mặt phẳng trên thành hai nửa mặt phẳng, một nửa mặt phẳng chứa $A_{2}$,  $A_{3}$ và nửa mặt phẳng kia chứa 2005 điểm còn lại. Nối $A_{4}A_{3}$, $A_{4}A_{1}$, tạo tam giác $A_{1}A_{3}A_{4}$, gọi là tam giác 2.

Tương tự, ta tạo được 2007 tam giác như hai tam giác kia, không có tam giác nào chồng lên nhau.

$\Rightarrow S_{\Delta _{1}}+S_{\Delta _{2}}+S_{\Delta _{3}}+...+S_{\Delta _{2007}}\Rightarrow$ Tồn tại ít nhất một tam giác có diện tích bé thua $\frac{S}{2007}$