NHN

Chuyên mục Quán hình học phẳng tháng 8 năm 2019

https://drive.google...XPpnS7FmaIYWz-c

Mọi người tham gia thảo luận vui vẻ.

Chuyên mục Quán hình học phẳng tháng 7 năm 2019: 

https://drive.google...sPsDv3dslsafwPB

Mọi người tham gia thảo luận vui vẻ

chú chaobu909 giải giống cách của a đó    chú coi tổng quát của Quân Trần chưa

Khép lại một năm 2018 với những điều thuận lợi là thứ mà ban biên tập Quán Hình Học nói riêng và Group Hình Học Phẳng nói chung đều rất vui và có thể tiếp tục nhìn vào năm kế tiếp và cố gắng.

Và đề bắt đầu 1 năm mới, 1 số Quán Hình học mới và những bài mới. Chúng mình, những người làm việc biên tập, chân thành cảm ơn các bạn đã sát cánh cùng trong 1 mục tiêu lớn của nhóm. Vì vậy đề khích lệ 1 năm kế tiếp thàng công chúng mình mong muốn gựi tặng các bạn đã tham gia giải bài 1 tài liệu nhỏ cũng là món quà tinh thần mang tính học thuật của nhóm. 

Với các bạn: Nguyễn Hà An, Trần Anh Quốc, Nguyển Đắc Quán, Nguyễn Đức Ánh cho các dóng góp to lớn về lời giải và Trần Vũ Duy về hai bài toán đề nghị đẹp tuyệt. Chúng minh sẽ gửi đến các bạn 1 cuốn tài liệu bằng giấy gồm các số đã qua và 1 vài điều bất ngờ khác.

Với các bạn: Đoàn Thành Đạt, Nguyễn Đức Thịnh, Nguyễn Duy Hiếu, Nguyễn Duy Khang vì những đóng góp lời giải cho chuyên mục ngay từ những ngày đầu chúng minh cũng muốn gửi đến các bạn file pdf tập hợp lại các bài và một số bất ngờ khác.

Và điều cuối cùng, chỉ còn hai tuần nữa là các bạn đã bắt đầu vào kì thi VMO, nhóm mình hi vọng với những gì chúng minh đã dóng góp sẽ hộ trỡ được các bạn trong mùa thi lần này. Tháng này có số bài lên tới 7 nhưng vẫn đảm bảo được chất lượng để các bạn có thể ôn tập lại kiến thức hình chuẩn bị cho kì thi.

Happy New Year

https://drive.google...Iqv64Lp9i36nvP4

Tổng kết 1 chút thì tháng vừa rồi tất cả các bài đều có lời giải từ bạn đọc, và ban biên tập còn được nhận thêm 2 bài cho tháng này đây hẳn là 1 tín hiệu rất dáng mừng. Và tháng 12 là "hết năm" 2018 vì vậy chúng minh hi vọng sẽ có bạn nào đó giải "hết năm" bài của tháng này. 

https://drive.google..._FWPuE1kTWjzHwz

Sau 2 số và tiếp là số thứ 3 thì đã là 3 tháng, 1 khoảng thời gian không dài nhưng cũng không hề ngắn. Nó dủ đề chúng ta hoc được nhiều điều. Chuyên mục đã có dịp giới thiệu đến độc giả 1 số bài toán khá đẹp nhưng lời giải của các bạn gửi đến còn đẹp hơn rất nhiều. Với mục đích lan tỏa, chuyên mục luôn muốn các bạn gửi nhiều lời giải hơn và thậm chí là cả các bài đề nghị cho tháng sau nữa.

https://drive.google...NY4ijJ2BXnHxjKE

revenge là nick cũ cùa mình trên điễn dàn hồi học lớp 10. Giờ thì mình đã sắp kết thúc năm lớp 12. Cũng có nhiều điều mình muốn nhắn nhủ với chính mình hồi lớp 10 lắm

Quay lại bài toán

câu a) thì áp dùng pascal ta có BC,IJ, tiếp tuyến tại A đồng qui 

câu b) mình đang nghĩ thử

giải giống câu 2 đề sư phạm Hà Nội 2014 nhưng mình nghĩ phải là đoạn $[2017,2018]$ https://diendantoanh...học-2014-2015/

mình không biết là mình có hiều đúng đề không nữa

Bài toán 1; do $u_i$ lẻ mà lại có ước nguyên tố lại không vượt quá 5 vậy $u_i=3^x5^y \geq 3^x$

$u_1+...+u_n \geq 1+3+...+3^{n-1}=\frac{3^n-1}{2} > \frac{8n^2}{15}$ bằng qui nạp 

Bài toán 2: xét dãy $(a_n)$ trong đó $a_n=u_n-247$ vậy $a_{n+1}=4a_n+5a_{n-1}$ đến đây ta có bổ đề vè tuần hoàn số dư, có lẻ câu hỏi là chứng minh tồn tại vô số chia hết cho 1996

em nghĩ có thể mở rộng bài 2 như sau (chứng minh bằng vị tự quay)

Cho tam giác $ABC$. Đương tròn $\odot(K)$ qua $B,C$ cắt $AB,AC$ tại $D,E$. Giao của $DE$ và $BC$ là $T$. Đối xứng của $B$ qua $D$ là $X$ tương tự $Y$. Chứng minh rằng $T$ thuộc trục đẳng phương của $\odot(K)$ và $\odot (AXY)$

lời giải bài 2 của em 

Bổ đề 1 : Cho tam giác $ABC$,trung điểm cung $AC$ không chứa $B$ là $X$ trung điểm $BC$ là $M$. Đường đối trung $AK$. Chứng minh rằng nếu $X$ là tâm của $\odot (ACM)$ thì $AX \perp AK$

Chưng minh. Ta có $BX$ là phân giác $\angle{ABC}$. Mà $\angle{BMA}=\frac{\angle{AXC}}{2}=90-\frac{\angle{ABC}}{2}=90-\angle{XBM}$ vậy $BX \perp AM$ 

Vậy $90-\angle{CAX}=\frac{\angle{AXC}}{2}=\angle{BMA}=\angle{MAB}=\angle{KAC}$ Suy ra $AK \perp AX$

Bổ đề 2: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $\odot(O)$. Đường kính $AX$, tiếp tuyến tại $X$ cắt $BC$ tại $K$. Giao của $KO$ và $AB,AC$ là $D,E$. Chứng minh rằng $O$ là trung điểm $DE$.

Chứng minh. (Bổ đề này quen thuộc)

Quay lại bài toán:

Ta gọi đường kính của $\odot(O)$ là $AX$. Tiếp tuyến tại $X$ cắt $BC$ tại $L$. Vậy theo bổ đề 2 thì $E,D,O,K$ thẳng.

Gọi giao của $DE$ và $\odot(O)$ là $Y,Z$ sao cho $Y$ nằm trên cung $AC$ từ gia thiết $DE=OA$ suy ra $OD=DY$. Giao của $YC$ và đường thẳng qua $O$ song song $AC$ thì $M'$ thì ta có $CM'=CY$ tương tự ta có điềm $N'$ và $BN'=BZ$. Vậy theo E.R.I.Q thì $K$ là trung điểm $M'N'$. Gỉa sử tồn tại $U,V$ khác $M',N'$ và nhận $K$ là trung điểm suy ra hình bình hành vố lí vậy $M'$ trùng $M$ và $N'$ trùng $N$.

Vậy ta có $\angle{OMC}=\angle{ACY}=\angle{AXY}$. Vậy $O,X,M,Y$ thuộc 1 đường tròn tương tự $O,X,N,Z$ thuộc 1 đường tròn.

Vậy theo Miquel thì $P,M,N,X$ thuộc 1 đường tròn.

Áp dụng Pascal cho 5 điểm $X,B,C,Y,Z$. Gọi giao của $BY$ và $XC$ là $G$. Giao của $CZ$ và $XB$ là $H$ thì $G,K,H$ thẳng. Gọi giao của $BY$ và $CZ$ $T$ vậy áp dụng Desargues suy ra $TX$,$YC$,$BZ$ đồng qui.tại $P$. Vậy $PX \perp DE$ suy ra $\angle{CPX}=90-\angle{OYC}=\angle{CXY}$

Áp dụng bổ đề 1 cho $\triangle YXM$ thì ta suy ra $XK$ là đường đối trung của vậy $\angle{MXL}=\angle{CXY}=\angle{CPX}$  vậy ta suy ra $LX$ là tiếp tuyến của $\odot(PMN)$ mà $LX$ là tiếp tuyến của $\odot(O)$ vậy ta suy ra $\odot (O)$ tiếp xúc $\odot (PMN)$

lời giải bài 2 của em

Bổ đề 1:

cho tam giác $ABC$, dựng 2 tam giác cân đồng dạng ngoài $\triangle ABC$ là $\triangle ACB'$ và  $\triangle ABC'$. Đường thẳng qua $C'$ song song $AC$ cắt đường thẳng qua $B'$ song song với $AB$ tại $A''$ thì $AA''$ chia đôi $BC$

chứng minh.

Gọi giao của đường thẳng qua $C'$ song song $AC$ cắt $AB$ tại $X$ tương tự $Y$ thì do $\angle{AC'X}=\angle{AB'Y}$ nên $\frac{AX}{XB}=\frac{AY}{YB}$ vậy 3 đường thẳng qua $A,X,B$ song song với $AC$ cắt 3 đường thẳng qua $A,Y,C$ song song với $AB$ cắt nhau tại 3 điểm thì thẳng hàng kết hợp với hình bình hành suy ra $AA'$ đi qua trung điểm $BC$

Bổ đề 2:  (giữ lại giả thiết của đề bài)

$\triangle A'B'C'$ và $\triangle ABC$ chia sẽ chung trọng tâm

(bổ đề này quen thuộc )

Bổ đề 3: (giữ lại giả thiết của đề bài)

gọi tâm của $\triangle A'BC$ là $P$ thì $PA \perp B'C'$ 

chứng minh. Ta có $\angle{PCB}=30=90-\angle{B'CA}$ áp dụng công thức hàm $cos$ và công thức $sin$ ta có 

lời giải bài 2 của em (có nhiều chỗ chưa chặc chẽ lắm)

Bổ đề 1: Cho tam giác $ABC$ có 2 điểm Brocard là $\Omega_1$ và $\Omega_2$ điểm Lemoine là $L$ và tâm ngoại là $O$. Chứng minh rằng $\Omega_1$, $\Omega_2$, $L$, $O$ thuộc 1 đường tròn có đường kính $OL$ 

Bổ đề 2: Tam giác Brocard thứ nhất nội tiếp $(OL)$ với $O$ là tâm ngoại và $L$ là diểm lemoine

Cả 2 bổ đề đều được chứng minh trong http://jl.ayme.pages... de Brocard.pdf (trang 19 và trang 32)

Quay lại bài toán: Gọi điểm Lemoine là $L$. Ta có nhận xét rằng $\angle{X\Omega_aO}=90$ thì $X$, $L$, $\Omega_a$ thẳng với $X\in \{A,B,C\}$ và $a\in\{1;2\}$. Gỉa sử $\angle{A\Omega_1O}=90$ vậy $A$, $L$, $\Omega_1$ thẳng mà theo bổ đề 2 thì ta có $L$ là 1 đỉnh của tam giác Brocard thứ nhất. Vậy ta có thể giả sử là $B$, $L$, $\Omega_2$ thẳng vậy ta có $\angle{B\Omega_2O}=90$. 

Giả sử tồn tại ít nhất thêm 1 góc nữa bằng 90

Trường hợp 1:  $\angle{A\Omega_2O}=90$ (tương tự $\angle{B\Omega_1O}=90$)

Thì $A$, $L$, $\Omega_2$ thẳng vậy $A$, $L$, $\Omega_2$, $B$ thẳng vô lí

Trường hợp 2: $\angle{C\Omega_1O}=90$ (tương tự $\angle{C\Omega_2O}=90$)

Thì $C$, $L$, $\Omega_1$ thẳng vậy $C$, $L$, $\Omega_1$, $A$ thẳng vô lí 

đề duyên hải năm 2016 https://diendantoanh...-năm-2015-2016/