Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


An Infinitesimal

Đăng ký: 25-05-2005
Offline Đăng nhập: Riêng tư
****-

#704410 Tính \lim_{x \rightarrow \infty}_ {cos \sq...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 28-03-2018 - 13:01

Áp dụng BĐT $|\sin x|\le 1, |\sin x| \le |x|, \forall x\in \mathbb{R},$

\[|\cos x-\cos y|=\left|2\sin\frac{x-y}{2}. \sin\frac{x+y}{2}\right| \le |x-y|.\]

Từ đánh giá trên và Định lý kẹp, ta suy ra giới hạn cần tìm bằng $0.$




#704281 CMR $\lim_{x->0}\frac{\sqrt[n]{1+...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-03-2018 - 16:38

bài 1. CMR $\lim_{x->0}\frac{\sqrt[n]{1+ax-1}}{x}=\frac{a}{n}$

$\lim_{}$

Bài 2. Cho dãy số Un: $\left\{\begin{matrix}x_{1}=2016, x_{2}=2017 & \\ x_{n}(x_{n-1}+x_{n+1})=2x_{n-1}x_{n+1} (n\geq 2)& \end{matrix}\right.$ Tìm $lim$ $x_{n}$

 

Bài 1: Gõ đề nhầm! Có thể dùng đạo hàm, đổi biến hoặc trực tiếp (nhân lượng liên hiệp).

 

Bài 2: 'chia-chia', ta nhận được dãy truy hồi tuyến tính cho dãy $\left\{ \frac{1}{x_n}\right\}.$




#704085 $u_{n+2}=\sqrt[3]{u_{n+1}^{2}.u_...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 22-03-2018 - 19:56

\[\frac{u_{n+2}}{u_{n+1}}=\left[\frac{u_{n+1}}{u_{n}}\right]^{-1/3}.\]

Lùi dần sẽ tìm ra $\frac{u_{n+1}}{u_{n}}.$ Từ đó suy ra $u_n.$




#703513 Tính $P=\frac{a+c}{b^3}$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 14-03-2018 - 18:21

BÀI TOÁN: Cho $lim\frac{\sqrt[3]{an^3+5n^2-7}}{\sqrt{3n^2-n+2}}=b\sqrt{3}+c$ . Tính 

$$P=\frac{a+c}{b^3}$$

 

Đề sai! Không thể tính $P.$




#703439 $\left\{\begin{matrix}U_{1}=1...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-03-2018 - 18:37

Thử với $u_{n}=\cot \alpha_{n}, 0<\alpha_n<\frac{\pi}{2}. $




#703437 Giới hạn hàm nhiều biến

Gửi bởi An Infinitesimal trong 13-03-2018 - 18:23

Tính giới hạn (nếu có) :

$lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}{\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}}$

 

Cho $(x,y)\to (0,0)$ dọc theo đường cong tham số $x^2+y^2=ky.$ Ta có thể đơn giản hóa $x=\sqrt{ky-y^2}$ với $k>0, 0<y<k.$

Đặt $f(x,y)=\frac{y(x^2+y^2)}{y^2+(x^2+y^2)^2}.$

Khi đó,  $f(\sqrt{ky-y^2},y) =\frac{k}{1+k^2}.$ Suy ra $\lim_{y\to 0^{+}}(\sqrt{ky-y^2},y)$ phụ thuộc $k$. Do đó, giới hạn $\lim_{(x,y)\to (0,0)} f(x,y)$ không tồn tại.




#703301 $\displaystyle {{U}_{n+1}}=\sqrt...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 11-03-2018 - 19:21

Cho dãy số $U_n$ được xác định bởi $(1)$ và $(2)$

Tính giới hạn $U_n$: 

$(1)$ $u_1=1$

$(2)$ $\displaystyle {{U}_{n+1}}=\sqrt{{{U}_{n}}^{2}+\frac{2n+1}{{{2}^{n}}}}$ $n\geq 1$

$u_{n+1}^2+a_{n+1}=u_n^2+a_n$, trong đó $a_{n}=\frac{4n+6}{2^n}.$

...




#702667 tính $lim \frac{u_{n+1}-u_{n}}{u...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 03-03-2018 - 16:08

bạn có thể làm chi tiết được không ạ , mình cảm ơn 

 

Vì $u_{n+1}\ge 3 u_n>0, \forall n\in \mathbb{N}$ nên $\lim u_{n}=\infty.$

 

Đặt $f(x)= \sqrt{9x^2+11x+3}.$

 

Khi đó, $\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{f(u_n)-u_n}{f(u_n)+u_n}.$

 

Từ $\displaystyle\lim_{x\to \infty}\frac{f(x)-x}{f(x)+x}= \lim_{x\to \infty}\frac{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}-1}{\sqrt{9+\frac{11}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}=\frac{1}{2}.$

Suy ra 

$$\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}+u_n}=\frac{1}{2}.$$




#702573 Tìm Lim $n^{2}.u_{n}$

Gửi bởi An Infinitesimal trong 01-03-2018 - 23:56

$\left\{\begin{matrix} u_{1}=2 & \\ u_{1}+u_{2}+u_{3}+.....+u_{n}=n^{2}u_{n} & \end{matrix}\right.$

Tìm Lim $n^{2}.u_{n}$

Ta có $(n-1)^2u_{n-1}+u_n=n^2 u_{n}, n\ge 2.$

Do đó $u_{n}= \frac{n-1}{n+1}u_{n-1}=\frac{2}{(n+1)n}u_1.$

Do đó, $\lim n^2u_n=4.$




#702242 $U_{n+1}^{3}-3U_{n+1}=\sqrt{2+U_...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-02-2018 - 13:50

Lời giải 3: (Tuyến tính hóa)

 

Ta có $$ u_{n+1}^{3}-3u_{n+1}= \sqrt{u_n+2} \le \frac{u_n+6}{4}.$$

Sử dụng thông tin $u_n \ge 2$, ta có thể giải tương tự như bài 2 nhưng với tính toán đơn giản hơn.

(Nếu "tiếp tục quảng bá cho bổ đề giới hạn" thì đây là một minh họa tốt!)

 

Lời giải 4: 

(Dùng định lý Lagrange/ Dãy co)
Dãy số có dạng

 

$f(u_{n+1})= g(u_n)$

thỏa: có các số thực dương $a, b$:  $f'(x)> a> 0<g'(x)<b \forall x\ge 2$ với $\frac{b}{a}<1.$




#702241 $U_{n+1}^{3}-3U_{n+1}=\sqrt{2+U_...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-02-2018 - 13:41

Cho $(U_{n})$:$\left\{\begin{matrix}U_{1}=3 & \\ U_{n+1}^{3}-3U_{n+1}=\sqrt{2+U_{n}} & \end{matrix}\right.$

Tính lim $U_{n}$

 

 

Lời giải 1:

 

Ta có $\left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2 = \sqrt{2+u_n}-2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}.$

Hơn nữa, vì $u_1>2$ nên $u_{n}>2 \forall n\in \mathbb{N}.$

 

Và ta có thể ra dãy là dãy giảm thông qua một trong các "đánh giá" sau:

(i) $u_ n\ge \sqrt{2+u_n}=u_{n+1} (u_{n+1}^2-3) \ge u_{n+1} . (2^2-3)=u_{n+1} \forall n\in mathbb{N}.$

 

(ii) Dùng qui nạp với phác thảo phần chính: Vì $u_{n+1}^{3}-3u_{n+1}- [u_{n}^{3}-3u_{n}]= \sqrt{u_{n}+2}- \sqrt{u_{n-1}+2}$ nên

$\left( u_{n+1}-u_n\right)\left(u_{n+1}^2+u_{n+1}u_n+u_n^2-3 \right)=\sqrt{u_{n}+2}- \sqrt{u_{n-1}+2}\ge 0.$ 

 

 

Lời giải 2:

 

Từ $\left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2 = \sqrt{2+u_n}-2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}$, ta chứng minh được $u_n>2 \forall n\in \mathbb{N}$ bằng phương pháp qui nạp.

 

Cũng từ đẳng thức trên ta có

$9[u_{n+1}-2] \le \left(u_{n+1}-2 \right)\left( u_{n+1}+1\right)^2=\frac{u_n-2}{\sqrt{2+u_n}+2}\le \frac{u_n-2}{4}.$

 

Do đó, $0<u_{n+1}-2\le \frac{1}{36} (u_n-2)$ với mọi $n\ge 1.$




#702236 tìm giới hạn của $\lim_{x \to \infty }(\sq...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 25-02-2018 - 13:17

Cho em hỏi cái căn bậc 4 anh trục như thế nào vậy ạ ?

 

Ta có hằng đẳng thức quen thuộc: $ a^4-b^4= (a-b)(a^3+a^2b+ab^2+b^3).$
Khi đó, với $a\eq \pm b$, ta sẽ có: $a-b= \frac{a^4-b^4}{a^3+a^2b+ab^2+b^3}$.

 

Thử với $a= \sqrt[4]{f(x)}$ và $b= g(x)$, ta có

$$ \sqrt[4]{f(x)}-g(x)= \frac{f(x)-[g(x)]^4}{ \sqrt[4]{[f(x)]^3}+ \sqrt[4]{[f(x)]^2}g(x)+ \sqrt[4]{f(x)}[g(x)]^2+[g(x)]^3}.$$

 

Có phải là thứ mà em cần tìm?




#702121 Xét sự hội tụ $\sum_{n=1}^{\infty }\l...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 23-02-2018 - 15:13

Xét sự hội tụ của chuỗi sau:

$a)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( e-\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^n \right )^p$

$b)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \sqrt{n+1}-\sqrt{n} \right )^p\ln \frac{n-1}{n+1}$

$c)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln(\ln n) \right )^{\ln n}}$

$d)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left ( \ln n \right )^{\ln\left ( \ln n \right )}}$

$e)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^p\ln ^qn}$

$f)$ $\sum_{n=1}^{\infty }\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2}+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}$ ($n$ dấu căn)

 

a), b), e) "giá trị" $p$ như thế nào?

 

f) Gõ đề đúng không hongson?

Và (c, d) cũng thế! Chú ý giá trị bắt đầu  $1$ nhen!!




#702099 tìm giới hạn của $\lim_{x \to \infty }(\sq...

Gửi bởi An Infinitesimal trong 23-02-2018 - 01:40

Chèn $-x, x$  vào  để tính toán nhưng tính toán rất khiếp (cồng kềnh thôi) chứ không phức tạp!

 

 

$\lim_{x \to \infty }(\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}+\sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2})$

 

Xét $f(x) =\sqrt[3]{x^{3}+2x^{2}+1}, g(x)= \sqrt[4]{x^{4}+3x^{3}+2}.$

Một số nhận xét:

i) $\lim_{x\to -\infty} \frac{f(x)}{x}=1, \lim_{x\to -\infty} \frac{g(x)}{x}=-1.$

ii) Với điều kiện thích hợp, ta có các đẳng thức sau

$$ f(x)-x = \frac{2x^2+1}{[f(x)]^2+xf(x)+x^2}= \dfrac{2+\frac{1}{x^2}}{\left[ \frac{f(x)}{x}\right]^2+\frac{f(x)}{x}+1},$$

$$ g(x)- (-x) = \frac{3x^3+2}{[g(x)]^3-x[f(x)]^2+x^2f(x)-x^3}= \dfrac{3+\frac{1}{x^3}}{\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^3-\left[ \frac{g(x)}{x}\right]^2+\frac{g(x)}{x}-1},$$

 

iii) Từ (i) và (ii), ta có 

$\lim_{x\to- \infty} [f(x)-x]=\frac{2}{3},$ và $\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=-\frac{3}{4}.$

 

Suy ra $\lim_{x\to -\infty} [f(x)+g(x)]= \lim_{x\to -\infty} [f(x)-x]+\lim_{x\to- \infty} [g(x)+x]=\frac{2}{3}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{12}.$




#702097 Help me

Gửi bởi An Infinitesimal trong 23-02-2018 - 01:15

Cho dãy số (un) xác định bởi SHTQ un=$\frac{2}{(2n+1)(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}$

CMR: u1+u2+u3+...+un<$\frac{n}{n+1}$

Sử dụng $u_{k} \le \frac{1}{\sqrt{k(k+1}(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})}=\frac{1}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k+1}}.$