Dựa vào gợi ý ở post #59 của thầy thangk50, xin được hoàn thiện lời giải bài 7.
Lời giải.
Bổ đề 1. Nếu $n$ là một số hoàn chỉnh chẵn thì $n$ có dạng $2^k \left( 2^{k+1} -1 \right)$ trong đó $k \ge 1$ và $2^{k+1}-1$ là một số nguyên tố.
Chứng minh. Đặt $n=2^kM$ với $k \in \mathbb{N}, k \ge 1, 2 \nmid M$. Khi đó ta có $2n= \sigma(n)$ hay $$2^{k+1}M= \sigma(2^k) \cdot \sigma(M) = \left( 2^{k+1}-1 \right) \sigma (M).$$
Do $\left( 2^{k+1}, 2^{k+1}-1 \right)=1$ nên $2^{k+1}-1 \mid M$. Đặt $M= \left( 2^{k+1}-1 \right)x$ thì $\sigma(M)=2^{k+1}x$. Do đó $M+x= \sigma(M)$. Do $x \mid M$ và $x<M$ nên $x,M$ là hai ước nguyên dương phân biệt của $M$. Từ điều kiện $\sigma(M)=M+x$ suy ra $M$ chỉ có hai ước nguyên dương này. Do đó chỉ có thể $x=1$. Khi đó $M= 2^{k+1}-1$ là một số nguyên tố và $n=2^k \left( 2^{k+1}-1 \right)$ với $2^{k+1}-1$ nguyên tố. $\blacksquare$
Bổ đề 2. (câu 7a) Nếu $n$ là số hoàn chỉnh lẻ thì $n$ có dạng $p^sm^2$ với $p \equiv 1 \pmod{4}$ nguyên tố $s,m$ là số nguyên dương sao cho $s \equiv 1 \pmod{4}, \; p \nmid m$.
------------------------------------------
Quay lại bài toán, ta xét hai trường hợp:
TH1. Nếu $n$ lẻ thì $n-1$ chẵn nên theo bổ đề 1 ta suy ra $n-1=2^k \left( 2^{k+1}-1 \right)$ với $k \ge 1, k \in \mathbb{N}, 2^{k+1}-1$ nguyên tố.
Với $k=1$ thì $n=7$. Thử lại thấy $\frac{n(n+1)}{2}= 28$ là số hoàn chỉnh.
Với $k \ge 2$ thì $n \equiv 1 \pmod{4}$. Khi đó $\frac{n(n+1)}{2}$ là số lẻ. Ta suy ra theo bổ đề 2 thì $\frac{n(n+1)}{2}= p^sm^2$ với các điều kiện $s,m,p$ như bổ đề 2. Từ đây ta suy ra $$n \cdot \frac{n+1}{2}= \left( 2^{2k+1}-2^k+1 \right) \cdot \left(2^{2k}-2^{k-1}+1 \right) = p^sm^2.$$
Do $\left( n, n+1 \right)=1$ nên ít nhất một trong hai số $n, \frac{n+1}{2}$ phải là số chính phương. Chung quy là ta sẽ đi giải hai phương trình nghiệm nguyên dương $2^{k-1} \left( 2^{k+1}-1 \right) = (x-1)(x+1)$ hoặc $2^k \left( 2^{k+1}-1 \right)= (x-1)(x+1)$ với $x \in \mathbb{N}, x \ge 2$. Giải hai phương trình này không khó khi ta đã biết được rằng $2^{k+1}-1$ là số nguyên tố, khi đó thì luôn có $2 \left( 2^{k+1}-1 \right) \mid x+1$ suy ra $x-1 \ge 2^{k+2}-4 > 2^k$ do $k \ge 1$. Điều này dẫn đến cả hai phương trình đều không có nghiệm nguyên dương.
TH2. Nếu $n$ chẵn thì $n-1$ lẻ. Do đó theo bổ đề 2 ta có $n-1= p^sm^2$ suy ra $n \equiv 2 \pmod{4}$ vì $p \equiv 1 \pmod{4}$. Do đó $\frac{n(n+1)}{2}$ lẻ nên theo bổ đề 2 thì $$\frac{n(n+1)}{2}= \frac{\left( p^sm^2+1 \right) \left( p^sm^2+2 \right)}{2}= q^th^2,$$ với $q$ là số nguyên tố có dạng $4k+1$, $t$ là số nguyên dương có dạng $4l+1$ và $h$ không chia hết cho $q$.
Do $(n,n+1)=1$ nên từ phương trình, một trong hai số $\frac n2, n+1$ là số chính phương. Chung quy là ta đi giải hai phương trình nghiệm nguyên dương $p^sm^2+1=x^2$ hoặc $p^sm^2+2=x^2$. Hai phương trình này đều vô nghiệm nguyên dương vì $p^sm^2+1 \equiv 2 \pmod{4}, p^sm^2+2 \equiv 3 \pmod{4}$.
Như vậy, $n=7$ là đáp án duy nhất cho bài toán. $\blacksquare$