Chủ đề này có 15 trả lời

[NTA1907]

Giải phương trình sau: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

 

[An Infinitesimal]

Giải phương trình sau: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

 

Đây là bài toán khó đối với mình, do đó mình sẽ đưa ra những bài toán dễ hơn:

(a) PT trên có nghiệm dạng $a+\sqrt{b}$ với $a, b\in \mathbb{Z}$ không?

(b) PT trên có nghiệm dạng $a+\sqrt{b}$ với $a, b\in \mathbb{Q}$ không?

(c) PT trên có nghiệm dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ với $a, b\in \mathbb{Z}$ không?

(d) PT trên có nghiệm dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ với $a, b\in \mathbb{Q}$ không?

(e) ...

[hoangkimngan99]

Đây là bài toán khó đối với mình, do đó mình sẽ đưa ra những bài toán dễ hơn:

(a) PT trên có nghiệm dạng $a+\sqrt{b}$ với $a, b\in \mathbb{Z}$ không?

(b) PT trên có nghiệm dạng $a+\sqrt{b}$ với $a, b\in \mathbb{Q}$ không?

(c) PT trên có nghiệm dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ với $a, b\in \mathbb{Z}$ không?

(d) PT trên có nghiệm dạng $\sqrt{a+\sqrt{b}}$ với $a, b\in \mathbb{Q}$ không?

(e) ...

là sao ạ? em k hiểu 

[An Infinitesimal]

là sao ạ? em k hiểu 

Em chỉ cần đọc mỗi câu (a) xem có được không! Nhớ đến PT mà ta đang quan tâm, và bây giờ không giải tìm nghiệm trên $\mathbb{R}$ mà thử tìm nghiệm trong vài tập hợp con đặc biệt của $\mathbb{R}$. 

[thang1308]

Mình đã đăng trên AoPS hỏi, ở đó có một hướng giải nhưng chưa ra đáp số, tạm thời cứ gửi link vậy:

http://artofproblems...1302406p6944827

[An Infinitesimal]

Nhìn vẫn cảm thấy chúng nó giông giống nhau

 

Giải phương trình:

            $5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$

 

http://diendantoanho...qrt4-xsqrt2x-2/

[NTA1907]

Nhìn vẫn cảm thấy chúng nó giông giống nhau

 

Giải phương trình:

            $5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}=4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}$

 

http://diendantoanho...qrt4-xsqrt2x-2/

Anh nói rõ hơn được không? Về mặt ý tưởng?

[An Infinitesimal]

Mình đã đăng trên AoPS hỏi, ở đó có một hướng giải nhưng chưa ra đáp số, tạm thời cứ gửi link vậy:

http://artofproblems...1302406p6944827

 

 

Mình vẫn tư duy thông thường đặt $u= \sqrt{x+2}, v= \sqrt{10-3x}.$

 

Talmon đã đưa cách đặc khác, thêm một hệ số cho các ẩn phụ không thông thường trên.

Tuy nhiên, mình vẫn thấy bước 4 "Squaring the both sides and  gives us this:  " không đúng! (?!)

[NTA1907]

 

 

Giải phương trình sau: $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

Hiện tại mình có 1 ý tưởng nhưng chưa hoàn thiện 

Đặt $\sqrt{x+2}=u, \sqrt{10-3x}=v$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} &3u^{2}+v^{2}=16 \\ &48u+12v=43u^{2}+9v^{2}-4uv \end{matrix}\right.$

Hệ này dùng UCT có vẻ khá khủng nên chắc không khả quan lắm. Mọi người có ý tưởng nào cho hệ này không?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NTA1907: 08-09-2016 - 13:37

[I Love MC]

Hiện tại mình có 1 ý tưởng nhưng chưa hoàn thiện 

Đặt $\sqrt{x+2}=u, \sqrt{10-3x}=v$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} &3u^{2}+v^{2}=16 \\ &48u+12v=43u^{2}+9v^{2}-4uv \end{matrix}\right.$

Hệ này dùng UCT có vẻ khá khủng nên chắc không khả quan lắm. Mọi người có ý tưởng nào cho hệ này không?

Anh thử xem http://diendantoanho...ng-trình/page-4

[An Infinitesimal]

Hiện tại mình có 1 ý tưởng nhưng chưa hoàn thiện 

Đặt $\sqrt{x+2}=u, \sqrt{10-3x}=v$

Ta có hệ:

$\left\{\begin{matrix} &3u^{2}+v^{2}=16 \\ &48u+12v=43u^{2}+9v^{2}-4uv \end{matrix}\right.$

Hệ này dùng UCT có vẻ khá khủng nên chắc không khả quan lắm. Mọi người có ý tưởng nào cho hệ này không?

Dùng "tư duy đẳng cấp" thì dẫn về giải PT bậc 4 như bài  do thuylinhnguyenthptthanhha post trong  topic mà http://diendantoanho...qrt4-xsqrt2x-2/

 

Các nhận định này dựa vào nhận định của NTA1907. Các nhận định này đã thay đổi theo các tính toán. Lý do nghi ngờ khi đối chiếu "Vế phải" với bài toán với "Vế trái" của bài toán của thuylinhnguyenthptthanhha. (Điều này đề cập bên dưới!)

Vào lúc 08 Tháng 9 2016 - 12:59, NTA1907 đã nói:

Anh nói rõ hơn được không? Về mặt ý tưởng?

 

 

 

Chúng tương tự nhau về "mô hình", không chắc chắn gì lời giải giống nhau. Tuy nhiên, lời giải có thể giống nhau như #7 của em. Hệ đẳng cấp qui về PT bậc 4.

 

Nói thêm về mô hình giống nhau. Điều này cũng khá "quan trọng"- chính vì không nhận ra sự tương đồng của "mô hình" nên không liên tưởng đến cách giải cũ.

Xem vế trái hai PT sau có mẫu mã giống nhau (tạm không chú ý đến VP.

 

 $$4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8. \quad\quad \quad (*+*)$$

 

 $4\sqrt{4-x}+\sqrt{2x-2}=5+x+2\sqrt{(4-x)(2x-2)}. \quad\quad \quad (+*+)$

Dù VP không tương tự nhau nhưng thật sự chúng tương tự nhau. Ta sẽ làm rõ điều này trong chốt lát sau.

 

Đặt $u=\sqrt{x+2}, v=\sqrt{10-3x}, u'=\sqrt{4-x}, v'=\sqrt{2x-2},$ ta có

$VP(*+*)=,\frac{43 u^4+3v^4+2u^2v^2}{64}$ và

$VP(+*+)=-\frac{4}{3}a^2- \frac{b^2}{6}+2ab.$

 

VT là thuần nhất cấp 1, VP đều thuần nhất  lần lượt là cấp 4, cấp 2. Do đó ta có thể đưa về hệ PT đẳng cấp lần lượt theo hai viến $u$ và $v$, và $u'$ và $v'.$

Tuy nhiên hệ của bài này sẽ dẫn đến PT bậc 8? (Không có điểm đặc biệt... Hình như các tính chất mà Talmon đề cập có nhầm lẫn(?!)).

 

 

Để không loãng ý, mình sẽ đề cập góc nhìn đại số cho ý tưởng của Talmon. Tại sao phải  lòng vòng dùng lượng giác rồi xoay sang đại số... tại sao không làm trực tiếp bằng đại số là câu chuyện- các bài toán mà vài "nhân vật" liên quan: L Lawliet, NAT1904, vanchanh123 đã thảo luận!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 08-09-2016 - 17:24

[An Infinitesimal]

Để không loãng ý, mình sẽ đề cập góc nhìn đại số cho ý tưởng của Talmon. Tại sao phải  lòng vòng dùng lượng giác rồi xoay sang đại số... tại sao không làm trực tiếp bằng đại số là câu chuyện- các bài toán mà vài "nhân vật" liên quan:LLawliet, NAT1904,vanchanh123 đã thảo luận!

Nếu bạn nào quan tâm có thể xem qua 2 topic liên quan 2 bài toán sau

 

$ (2x+1)(x+\sqrt{x^{2}+1})+\frac{16x+153}{16x-45}=0 $

 

 

Xem #6 đến #9

http://diendantoanho...c16x15316x-450/

 

 

Bài 515: Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{35}{12} \\ \dfrac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}-\dfrac{y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{7}{12} \end{matrix}\right.$$

 

Hy vọng việc dẫn như thế này có thể "triệu hồi" L Lawliet.

 

Xem # 1136, #1138, #1139  tại http://diendantoanho...g-trình/page-57.

 

 

Tiếp theo, mình sẽ đưa ra góc nhìn đại số cho ý tưởng của Talmon.

 

Đưa PT $p\sqrt{ax+b}+ q\sqrt{cx+d}=f(x)$ về dạng

$p'\sqrt{a'-x}+ q'\sqrt{x+a'}=g(x).$

(Loại gần quen thuộc, thông thường, đưa về hệ đối xứng hoặc đưa về PT theo ẩn $t=\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}.$ Tuy nhiên, ý tưởng này sẽ không thành công!) 

 

 

PT  $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

$\iff 4\sqrt{x+2}+\sqrt{3}\sqrt{\frac{10}{3}-x}=x^{2}+8$

Chọn $a$ (với $y$ là ẩn mới) sao cho $x+2=y+a, \frac{10}{3}-x=a-y$. 

Do đó $a=\frac{8}{3}.$

Khi đó  PT trở thành 

$\iff 4\sqrt{y+\frac{8}{3}}+\sqrt{3}\sqrt{\frac{8}{3}-y}=\left( y+\frac{2}{3}\right)^{2}+8$

Lúc này có thể dùng 2 ẩn phụ như thông thường $u=\sqrt{y+\frac{8}{3}}, v= \sqrt{\frac{8}{3}-y}.$

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 08-09-2016 - 18:04

[thang1308]

Để không loãng ý, mình sẽ đề cập góc nhìn đại số cho ý tưởng của Talmon. Tại sao phải  lòng vòng dùng lượng giác rồi xoay sang đại số... tại sao không làm trực tiếp bằng đại số là câu chuyện- các bài toán mà vài "nhân vật" liên quan:LLawliet, NAT1904,vanchanh123 đã thảo luận!

Nếu bạn nào quan tâm có thể xem qua 2 topic liên quan 2 bài toán sau

 

 

Xem #6 đến #9

http://diendantoanho...c16x15316x-450/

 

 

Hy vọng việc dẫn như thế này có thể "triệu hồi" L Lawliet.

 

Xem # 1136, #1138, #1139  tại http://diendantoanho...g-trình/page-57.

 

 

Tiếp theo, mình sẽ đưa ra góc nhìn đại số cho ý tưởng của Talmon.

 

Đưa PT $p\sqrt{ax+b}+ q\sqrt{cx+d}=f(x)$ về dạng

$p'\sqrt{a'-x}+ q'\sqrt{x+a'}=g(x).$

(Loại gần quen thuộc, thông thường, đưa về hệ đối xứng hoặc đưa về PT theo ẩn $t=\sqrt{a+x}+\sqrt{a-x}.$ Tuy nhiên, ý tưởng này sẽ không thành công!) 

 

 

PT  $4\sqrt{x+2}+\sqrt{10-3x}=x^{2}+8$

$\iff 4\sqrt{x+2}+\sqrt{3}\sqrt{\frac{10}{3}-x}=x^{2}+8$

Chọn $a$ (với $y$ là ẩn mới) sao cho $x+2=y+a, \frac{10}{3}-x=a-y$. 

Do đó $a=\frac{8}{3}.$

Khi đó  PT trở thành 

$\iff 4\sqrt{y+\frac{8}{3}}+\sqrt{3}\sqrt{\frac{8}{3}-y}=\left( y+\frac{2}{3}\right)^{2}+8$

Lúc này có thể dùng 2 ẩn phụ như thông thường $u=\sqrt{y+\frac{8}{3}}, v= \sqrt{\frac{8}{3}-y}.$

Anh đã tìm được nghiệm chưa ạ?

[L Lawliet]

Bài toán này hình như đây là lần thứ $3$ mình gặp lại nó và hiện tại mình vẫn chưa có ý tưởng nào khác nên xin phép không bình luận gì nhiều chỉ xin phép nói vài hướng mình đã từng thử:

- Khi dùng wolfram để dò nghiệm (lúc đầu mình nghĩ bài này là một bài đơn giản chỉ việc tìm nghiệm rồi liên hợp thôi) thì hai nghiệm của bài này "rất xấu".

- Khi đó mình định dùng casio để ép tích nhưng mình cho chạy từ $-30$ đến $30$ vẫn không thấy được hệ số nào có thể dùng được cả nên mình đã loại bỏ cách này.

- Sau đó mình thử lập hệ và dĩ nhiên như mọi người đã thấy cách này chưa đi đến đâu (mình dùng "chưa" vì có thể hệ này còn giải quyết được.

- Một phương pháp trục căn khác mình nghĩ đến là bình phương hai vế rồi dùng phép thế Euler nhưng sau khi bình phương ta sẽ thu được bậc $4$ mà sau khi thế sẽ ra đến tận bậc $8$ - điều này không được như mong muốn nên mình chưa thử cách đó.

- Mình từng nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức để đánh giá nhưng bất đẳng thức mình không tìm hiểu nhiều nên mong mọi người xem xét - ý tưởng này không hiểu sao nó xuất hiện khi mình nhìn vế phải có dạng $\geq $ còn $x$ trong căn ở vế trái có vẻ như triệt tiêu nhau. Tóm lại chưa thử được cách này.

Khi giải một bài toán mà như vầy đôi lúc mình hay tự hỏi rằng rốt cuộc đề có đúng không? Vì mình không hiểu được mục đích của người chế ra đề với nghiệm như vậy. Đó là câu hỏi mình đặt ra và sẽ tự tìm hiểu, dĩ nhiên đôi khi một bài toán sai dẫn đến một bài toán khác vẫn giải được nhưng đôi khi nó lại dẫn đến một điều vô nghĩa làm tốn thời gian. Và mình thử tìm, kiểm tra ở một số nơi thì tìm được hai bài này làm mình nghĩ đề bài không có vấn đề gì cả mà nó là một dạng nào đó:

 

Bài toán 1. Giải phương trình:

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}+2=x^{2}+2x$$

Bài toán này do VietHoang99 post tại đây. Không biết tác giả có ở đây và đã giải quyết hay có ý tưởng nào cho bài này không?

 

Bài toán 2. Giải phương trình:

$$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+10$$

Bài này được post tại đây.

 

Hi vọng hai bài tương tự như trên giúp được gì đó và mình vẫn chưa tìm được ý tưởng nào hay cho bài này (sẽ tìm các phương pháp hoặc trong báo xem sao). Xin hết!

[An Infinitesimal]

Bài toán này hình như đây là lần thứ $3$ mình gặp lại nó và hiện tại mình vẫn chưa có ý tưởng nào khác nên xin phép không bình luận gì nhiều chỉ xin phép nói vài hướng mình đã từng thử:

- Khi dùng wolfram để dò nghiệm (lúc đầu mình nghĩ bài này là một bài đơn giản chỉ việc tìm nghiệm rồi liên hợp thôi) thì hai nghiệm của bài này "rất xấu".

- Khi đó mình định dùng casio để ép tích nhưng mình cho chạy từ $-30$ đến $30$ vẫn không thấy được hệ số nào có thể dùng được cả nên mình đã loại bỏ cách này.

 

(y) Như mình đã nói: nếu như nút thanks/cảm ơn thay vì thích mình sẽ nhấn cho bạn nhiều phát!

Theo suy nghĩ bản thân, nếu wolfram mà không cho ra nghiệm đẹp "căn" thì không nên thử bước 2.

Mình không tìm hiểu wolfram dùng thuật toán gì để giải nhưng mình nghĩ wolfram đủ khỏe để cho ra nghiệm "căn" hoặc "căn lồng căn".

Bước thứ 2 cũng chỉ tìm nghiệm loại mà wolfram có thể làm được.

 

 

Bài toán này hình như đây là lần thứ $3$ mình gặp lại nó và hiện tại mình vẫn chưa có ý tưởng nào khác nên xin phép không bình luận gì nhiều chỉ xin phép nói vài hướng mình đã từng thử:

- Mình từng nghĩ đến việc dùng bất đẳng thức để đánh giá nhưng bất đẳng thức mình không tìm hiểu nhiều nên mong mọi người xem xét - ý tưởng này không hiểu sao nó xuất hiện khi mình nhìn vế phải có dạng $\geq $ còn $x$ trong căn ở vế trái có vẻ như triệt tiêu nhau. Tóm lại chưa thử được cách này.

Khi giải một bài toán mà như vầy đôi lúc mình hay tự hỏi rằng rốt cuộc đề có đúng không? Vì mình không hiểu được mục đích của người chế ra đề với nghiệm như vậy. Đó là câu hỏi mình đặt ra và sẽ tự tìm hiểu, dĩ nhiên đôi khi một bài toán sai dẫn đến một bài toán khác vẫn giải được nhưng đôi khi nó lại dẫn đến một điều vô nghĩa làm tốn thời gian. Và mình thử tìm, kiểm tra ở một số nơi thì tìm được hai bài này làm mình nghĩ đề bài không có vấn đề gì cả mà nó là một dạng nào đó:

 

Bài toán 1. Giải phương trình:

$$\sqrt{x+1}+\sqrt{2-x}+2=x^{2}+2x$$

Bài toán này do VietHoang99 post tại đây. Không biết tác giả có ở đây và đã giải quyết hay có ý tưởng nào cho bài này không?

 

Bài toán 2. Giải phương trình:

$$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+10$$

Bài này được post tại đây.

 

Hi vọng hai bài tương tự như trên giúp được gì đó và mình vẫn chưa tìm được ý tưởng nào hay cho bài này (sẽ tìm các phương pháp hoặc trong báo xem sao). Xin hết!

Mình nghĩ dùng BĐT không thành công vì không thiết lập được BĐT (theo góc nhìn của mình!)

Bạn đã đưa nhiều thông tin có giá trị và cũng đồng quan điểm: mong muốn biết về nguồn gốc thật sự của bài toán? Nếu tác giả đã "sinh nhầm" thì cũng nên đính chính để mọi người bớt nghĩ về nó.

 

Hồi xưa, mục "XYZ hỏi.. đáp..." trên báo TH&TT có đăng bài giải PT $\sin{x}+\sin{(2x)}++\sin{(3x)}=1.$ (Hình như đề là như vậy!)

Bài toán cũng xuất hiện trên các diễn đàn... và cũng đi vào lịch sử chung với mác "bài toán chưa có lời giải".

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 08-09-2016 - 20:27

[An Infinitesimal]

Bài toán 2. Giải phương trình:

$$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+10$$

Bài này được post tại đây.

 

Hi vọng hai bài tương tự như trên giúp được gì đó và mình vẫn chưa tìm được ý tưởng nào hay cho bài này (sẽ tìm các phương pháp hoặc tro

Thông qua link này, mình mới biết mình đã gặp bài toán $$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+10$$, và mình đã tự sửa đề thành $$4\sqrt{x+2}+\sqrt{22-3x}=x^{2}+8$$.

Bài toán biến thể trở thành bài toán đã giải được. Và dùng chức năng search, mình thấy bài biến thể "lan truyền" nhiều nơi:

 

http://diendantoanho...sqrt22-3x-x2-8/

 

 

http://k2pi.net.vn/s...ead.php?t=15008

 

http://truongviethoa...22-3x-x2-8.html

 

Ghê hơn thế nữa là nó được chế thành hệ PT

http://diendantoanho...yx2y2xy33x2y22/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vanchanh123: 08-09-2016 - 20:42