Chủ đề này có 4 trả lời

[Duy Thai2002]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR: $\sum \frac{a}{a+2}\leq 1$

[slenderman123]

$\sum \frac{a}{a+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2}{a+2}\geq 2\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+2}\geq 1\Leftrightarrow \frac{9}{\sum a+6}\geq 1$ đúng do $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9\Leftrightarrow a+b+c \leq 3$

[Duy Thai2002]

Cách khác:

Ta có bđt phụ sau: $\frac{a}{a+2}\leq \frac{a^{2}+2}{9}$

<=> $\frac{(a-1)^{2}(a+4)}{9(a+2)}\geq 0$ (Đúng)

=> $\sum \frac{a}{a+2}\leq \frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}+6}{9}=\frac{3+6}{9}=1$

=> Đpcm.

P/s: Bạn nào có cách giải khác thì đóng góp cho mọi người học hỏi nhé.

[MoMo123]

Cho $a,b,c\geq 0$ thỏa $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$. CMR: $\sum \frac{a}{a+2}\leq 1$

 

 

$\sum \frac{a}{a+2}\leq 1\Leftrightarrow \sum \frac{2}{a+2}\geq 2\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a+2}\geq 1\Leftrightarrow \frac{9}{\sum a+6}\geq 1$ đúng do $(a+b+c)^{2}\leq 3(a^{2}+b^{2}+c^{2})=9\Leftrightarrow a+b+c \leq 3$

Đâu cần phức tạp thế đâu ạ 

Ta có đánh giá dưới mẫu $a+2=a+1+1\geq 3\sqrt[3]{a}$

$\rightarrow \sum \frac{a}{a+2}\leq \sum \frac{a}{3\sqrt[3]{a}}=\sum \frac{\sqrt[3]{a^{2}.1.1}}{3}\leq \sum \frac{a^{2}+1+1}{9}=1$

[duylax2412]

Mọi người có nhiều cách,một cách thì $Cauchy-Shwarz$,một cách sử dụng phương pháp tiếp tuyến,một cách thì $AM-GM$

Còn mình thì góp thêm cách luôn:

$Q.E.D$ $\Leftrightarrow \sum a(b+2)(c+2) \leq (a+2)(b+2)(c+2)$

$\Leftrightarrow abc +\sum ab \leq 4$.Đúng theo $AM-GM$