Đến nội dung


Thông báo

Thời gian vừa qua do diễn đàn gặp một số vấn đề về kĩ thuật nên thỉnh thoảng không truy cập được, mong các bạn thông cảm. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết triệt để. Nếu các bạn gặp lỗi trong lúc sử dụng diễn đàn, xin vui lòng thông báo cho Ban Quản Trị.


Hình ảnh

$\boxed{\text{TOPIC}}$ ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ LỚP $10$ năm $2018-2019$

bất đẳng thức holder cosi bunhiacopxki

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 198 trả lời

#1 MoMo123

MoMo123

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 211 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2018 - 17:41

Xin chào các bạn , mình là MoMo123  ;)  . Chúng ta đang chuẩn bị cho kì thi THPT sắp tới kèm theo đó là kì thi chuyên Toán. Chúng ta cần ôn tập và nâng cao kiến thức để chuẩn bị tốt cho kì thi chuyên.

Sau khi thảo luận với Tea Coffee và thầy Ngoc Hung, mình quyết định lập topic về bất đẳng thức này. 

 

Nội quy của TOPIC như sau: 

$+$ Không spam, làm loãng TOPIC

$+$ Sau khi đề xuất các bài toán, nếu sau 1 ngày mà không có ai trả lời, người đề xuất bài toán cần phải đưa ra lời giải

$+$ Mình mong các bạn giải bài Toán sẽ trình bày bài toán đầy đủ một chút, thuận tiện cho việc hiểu bài

$+$ Nếu như một bài toán nào đó được đề xuất mà đã có lời giải ở trang khác, mình mong mọi người hãy trình bày đầy đủ tại trang này luôn, không dẫn link đến các trang khác

$+$ Các anh chị lớp trên nên hạn chế giải bài, em mong các anh chị sẽ chỉ đề xuất một bài toán mới hoặc lời giải thứ 2 của một bài toán nào đó.

Các bài toán đã được giải sẽ được tô màu đỏ. Các bạn chú ý nhé :)

Mong các bạn chấp hành đúng nội quy của TOPIC. Mình mong sẽ nhận được sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn :)

                                                                         -MoMo123-


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:01


#2 MoMo123

MoMo123

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 211 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2018 - 18:05

Sau đây là các bài tập đầu tiên :
$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho a,b,c,d,e >0
Chứng minh bất đẳng thức sau:
                                       $625(a^5 +32b^5+c^5+1024d^5 +e^5) \geq (a+2b+c+4d+e)^5$
$\boxed{\text{Bài 2}}$ Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $0<a\leq b\leq c$, chứng minh rằng
                                                 $(a+3b)(b+4c)(c+2a)\geq 60abc$
$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z & & \\ x+y+z=3 & & \end{matrix}\right.$
Tìm  Min                         $ P = \frac{x}{y^3+16} +\frac{y}{z^3 +16} +\frac{z}{x^3+16}$
$\boxed{\text{Bài 4}}$ Cho $m,n$ là 2 số tự nhiên sao cho $\sqrt{7}-\frac{m}{n}>0$
Chứng minh rằng                                 $\sqrt{7}n-m > \frac{1}{m}$


Hình như bạn gõ lộn ở phân thức thứ hai

cảm ơn bạn, mình đã sửa


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:35


#3 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 391 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức

Đã gửi 16-04-2018 - 18:27

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $0<a\leq b\leq c$, chứng minh rằng

                                                 $(a+3b)(b+4c)(c+2a)\geq 60abc$

 

  :D

Theo $AM-GM$ ta có: 

$a+3b=a+b+b+b\geq 4\sqrt[4]{ab^{3}}$

$b+4c=b+c+c+c+c\geq 5\sqrt[5]{bc^{4}}$

$c+2a=c+a+a\geq 3\sqrt[3]{ca^{2}}$

Nhân vế theo vế: $(a+3b)(b+4c)(c+2a)\geq 60\sqrt[4]{ab^{3}}\sqrt[5]{bc^{4}}\sqrt[3]{ca^{2}}$

$=60a^{\frac{11}{12}}b^{\frac{19}{20}}c^{\frac{17}{15}}$
$=60abca^{\frac{-1}{12}}b^{\frac{-1}{20}}c^{\frac{2}{15}}$
$\geq 60abcc^{\frac{-1}{12}}c^{\frac{-1}{20}}c^{\frac{2}{15}}$
$\geq 60abc$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 16-04-2018 - 18:27

$\dagger$
$\fbox{$\varsigma J\varnothing K\Xi\mathbb{R}\zeta $}$
Ghé thăm [Topic] của tôi tại đây: https://diendantoanh...11/#entry706367

 


#4 HelpMeImDying

HelpMeImDying

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2018 - 18:29

Bài 5: Cho $a, b, c> 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{abc}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:03


#5 MoMo123

MoMo123

    Thượng sĩ

  • Điều hành viên THCS
  • 211 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2018 - 18:44

Bài 5: Cho $a, b, c> 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}= 1$. Chứng minh rằng

$\sqrt{a+bc}+\sqrt{b+ca}+\sqrt{c+ab}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{abc}$

Đặt                                 $(a,b,c)$ =($\frac{1}{x}$,$\frac{1}{y}$,$\frac{1}{z}$)

                                                  $ x+y+z =1$

Bất đẳng thức cần chứng minh

 $  \sum\sqrt{x+yz} \geq 1+\sum\sqrt{xy}$

Ta có $\sum\sqrt{x+yz} =\sum\sqrt{x(x+y+z)+yz}=\sum \sqrt{(x+y)(x+z)}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia, ta có $\sum\sqrt{(x+y)(x+z)}\geq \sum (x+\sqrt{yz})= \sum {yz}+1$(Q.E.D)

Dẫu bằng xảy ra tại $a=b=c=\frac{1}{3}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 16-04-2018 - 18:54


#6 dat102

dat102

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2018 - 19:09

 

$\boxed{\text{Bài 3}}$ Cho các số thực x,y,z thỏa mãn $\left\{\begin{matrix}0\leq x\leq y\leq z & & \\ x+y+z=3 & & \end{matrix}\right.$

Tìm  Max                         $ P = \frac{x}{y^3+16} +\frac{y}{x^3 +16} +\frac{z}{x^3+16}$

Hình như bạn gõ lộn ở phân thức thứ hai


:ukliam2:  $\sqrt{MF}$  :ukliam2: 


#7 Khoa Linh

Khoa Linh

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 358 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THCS Lâm Thao, Lâm Thao, Phú Thọ
  • Sở thích:geometry, inequality and my girl

Đã gửi 16-04-2018 - 19:14

Bài 6: Cho a, b, c>0 thỏa mãn $abc=1$ Chứng minh rằng:

$a+b+c\geq \frac{1+a}{1+b}+\frac{1+b}{1+c}+\frac{1+c}{1+a}$ (Phạm Kim Hùng)

Bài 7: Cho a, b là hai số không âm thỏa mãn $a^3+b^3=2$. Chứng minh:

$3(a^4+b^4)+2a^4b^4\leq 8$ (Vasile Cirtoaje)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 20:34

DK <3 BL  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :D  :D  :D  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:

$\sqrt[LOVE]{MATH}$

"If I feel unhappy, I do mathematics to become happy. If I am happy, I

 

do mathematics to keep happy" - Alfréd nyi 


#8 tr2512

tr2512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 16-04-2018 - 19:35

Xin góp một bài.

Bài 8: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a\ge b+c$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{3{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$ (Bùi Việt Anh) 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:03


#9 HelpMeImDying

HelpMeImDying

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 72 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 16-04-2018 - 19:52

Bài 9: Giả sử a, b, c là 3 số không âm thỏa mãn $a+b+c+abc=4$.

Tìm GTLN: $P=ab+bc+ca$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:04


#10 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 16-04-2018 - 20:21

Bài 9: Đặt a+b+c=p,ab+bc+ca=q,abc=r

Theo giả thiết, $=>p+r=4=>r=4=> p+r=4=> r=4p$ , từ giả thiết ta dễ dàng chứng minh được p3

Theo bất đẳng thức Schur, ta có

$p^3-4pq + 9r \geq 0 => p^3-4pq + 9(4-p) \geq 0 =>  p^3- 9p+36 \geq 4pq => \frac{p^3-9p+36}{4p} \geq q$

$\Rightarrow \frac{p^3 -9p+36}{4p}\geq q$

Ta sẽ chứng minh p$\geq q$ hay ta chứng minh:p \geq \frac{p^3-9p+36}{4p}  <=> p^3 - 4p^2 -9p + 36 \leq 0 <=> 3 \leq p \leq 4(bất đẳng thức này hiển nhiên đúng)

Từ đó ta suy ra q$\leq$ 4

                     Vậy MaxP=4. Đẳng thức xảy ra chẳng hạn khi (a,b,c)=(0,2,2)
Bài 10: Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn $a^2+b^2+c^2+abc$=4
Tìm min và max của P=a+b+c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 17-04-2018 - 20:25


#11 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 391 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức

Đã gửi 16-04-2018 - 21:30

Bài 10: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng 

$\frac{\sqrt{a^{4}+b^{4}}}{\sqrt{1+ab}}+\frac{\sqrt{b^{4}+c^{4}}}{\sqrt{1+bc}}+\frac{\sqrt{c^{4}+a^{4}}}{\sqrt{1+ac}}\geq 3$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 23:24

$\dagger$
$\fbox{$\varsigma J\varnothing K\Xi\mathbb{R}\zeta $}$
Ghé thăm [Topic] của tôi tại đây: https://diendantoanh...11/#entry706367

 


#12 DinhXuanHung CQB

DinhXuanHung CQB

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên Quảng Bình
  • Sở thích:Quậy cà phê, thưởng thức cà phê nóng đêm

Đã gửi 16-04-2018 - 21:46

Xin góp một bài.

Bài 8: Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn $a\ge b+c$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$P=\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{3{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$ (Bùi Việt Anh) 

$P=\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{3{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

$P-2=\frac{(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)}{{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 0$ Luôn đúng

Vậy $minP=2$ khi $a=b+c$

Quote : Không biết lời giải của mình có trùng với lời giải gốc không


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DinhXuanHung CQB: 16-04-2018 - 22:00

Little Homie


#13 tr2512

tr2512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 16-04-2018 - 21:50

$P=\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{3{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

$P-2=\frac{(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)}{{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 0$ Luôn đúng

Vậy $minP=2$ khi $a=b=c$

Quote : Không biết lời giải của mình có trùng với lời giải gốc không

Note: xem lại dấu bằng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tr2512: 16-04-2018 - 21:54


#14 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 16-04-2018 - 21:51

$P=\frac{a}{{b + c}} + \frac{b}{{a + c}} + \frac{c}{{a + b}} + \frac{{3{\rm{a}}bc}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}$

$P-2=\frac{(a+b-c)(a+c-b)(a-b-c)}{{abc(a+b)(b+c)(c+a)}}\geq 0$ Luôn đúng

Vậy $minP=2$ khi $a=b=c$

Quote : Không biết lời giải của mình có trùng với lời giải gốc không

Bạn ơi điều kiện ở bài này là $a\geq b+c$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 16-04-2018 - 21:52


#15 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 16-04-2018 - 21:55

Bài 10: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$. Chứng minh rằng $\frac{\sqrt{a^{4}+b^{4}}}{1+ab}+\frac{\sqrt{b^{4}+c^{4}}}{1+bc}+\frac{\sqrt{c^{4}+a^{4}}}{1+ac}\geq 3$

Bất đẳng thức của bạn sai rồi vế phải là $\frac{3}{\sqrt{2}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuanhoan23112002: 16-04-2018 - 21:58


#16 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 391 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức

Đã gửi 16-04-2018 - 22:02

Bất đẳng thức của bạn sai rồi vế phải là $\frac{3}{\sqrt{2}}$

vẫn đúng bạn :D


$\dagger$
$\fbox{$\varsigma J\varnothing K\Xi\mathbb{R}\zeta $}$
Ghé thăm [Topic] của tôi tại đây: https://diendantoanh...11/#entry706367

 


#17 tr2512

tr2512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 16-04-2018 - 22:05

Bài 11: 

Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh:

$\frac{a}{{\sqrt {\left( {2{\rm{a}} + b} \right)\left( {2{\rm{a}} + c} \right)} }} + \frac{b}{{\sqrt {\left( {2b + a} \right)\left( {2b + c} \right)} }} + \frac{c}{{\sqrt {\left( {2c + a} \right)\left( {2c + b} \right)} }} \le 1$ (Nguyễn Việt Hùng)

P/s: các bạn hãy đưa ra các bài phù hợp với lớp 9 một chút :D


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:05


#18 hoangkimca2k2

hoangkimca2k2

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 391 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:nowhere
  • Sở thích:Bất Đẳng Thức

Đã gửi 16-04-2018 - 22:06

$\boxed{\text{Bài 1}}$ Cho a,b,c,d,e >0
Chứng minh bất đẳng thức sau:
                                       $625(a^5 +32b^5+c^5+1024d^5 +e^5) \geq (a+2b+c+4d+e)^5$

 

 

Áp dụng $BDT Holder$

$(1+1+1+1+1)(1+1+1+1+1)(1+1+1+1+1)(1+1+1+1+1)(a^{5} +32b^{5}+c^{5}+1024d^{5} +e^{5}) \geq (a+2b+c+4d+e)^{5} $


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkimca2k2: 16-04-2018 - 22:53

$\dagger$
$\fbox{$\varsigma J\varnothing K\Xi\mathbb{R}\zeta $}$
Ghé thăm [Topic] của tôi tại đây: https://diendantoanh...11/#entry706367

 


#19 tr2512

tr2512

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 138 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:B0K32A THPT chuyên ĐHKHTN, ĐHQGHN (HSGS)
  • Sở thích:Yêu thích bất đẳng thức

Đã gửi 16-04-2018 - 22:11

Bài 12

Cho các số thực dương a,b,c. Chứng minh:

$\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \ge \frac{{a + b + c}}{{\sqrt[3]{{abc}}}}$ (Sưu tầm)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:05


#20 xuanhoan23112002

xuanhoan23112002

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 66 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định

Đã gửi 16-04-2018 - 22:14

Bài 13: Cho a, b, c >0 và a+b+c=1. CMR: $5(a^2+b^2+c^2)\leq 6(a^3+b^3+c^3)+1$

Đẳng thức xảy ra khi nào?


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 17-04-2018 - 17:05






4 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 4 khách, 0 thành viên ẩn danh