Đề kiểm tra kiến thức hè THPT chuyên LHP Nam Định
Môn: Toán chuyên
Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1: Giải phương trình:
a) $x^6-3x^5+6x^4-8x^3+6x^2-3x+1=0$
b) $\sqrt{x^2+3x}+2\sqrt{x+2}=2x+\sqrt{x+\frac{6}{x}+5}$
Câu 2: Cho các số thực dương $a;b;c$ thỏa mãn $\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=5$. Chứng minh rằng:
$\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\geq \frac{17}{4}$
Câu 3: Cho ánh xạ:
$f: \mathbb{R}\setminus \left\{2 \right\} \rightarrow \mathbb{R}\setminus \left\{2 \right\}$
$x\mapsto y=\frac{2y+1}{y-2}$
Chứng minh $f$ là song ánh và tìm ánh xạ ngược của $f$
Câu 4: Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$; $M$ là trung điểm của $BC$; $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$. Đường thẳng qua $A$ vuông góc với $AN$ cắt đường thẳng qua $B$ vuông góc với $BC$ tại $D$. Kẻ đường kính $AE$ của $(O)$
a) Chứng minh : $BD.BE=BM.BA$
b) Chứng minh $CD$ đi qua trung điểm đường cao $AH$ của tam giác $ABC$
Câu 5: Cho tam giác $ABC$ đều có độ dài cạnh là $a$; biết rằng tập hợp các điểm $M$ trong tam giác $ABC$ thỏa mãn $\left|\vec{MA}+\vec{MB}+2\vec{MC}\right| = \left|\vec{MA}+2\vec{MB}-3\vec{MC} \right|$ nằm trên một đường tròn. Tính bán kính đường tròn đó theo $a$.
Câu 6: Tìm tất cả các tập con $S$ của $\mathbb{N^*}$ sao cho với mọi $i$ và $j$ thuộc $S$ thì $\frac{i+j}{(i;j)}$ cũng thuộc $S$ và tập $S$ là một tập hợp có hữu hạn phần tử. Kí hiệu $(i;j)$ là ước chung lớn nhất của $i$ và $j$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Minhnksc: 30-08-2017 - 18:32