Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} = 2016$ CMR:
$\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{y+x} \geq 504\sqrt{2}$
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn $\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}} = 2016$ CMR:
P= $\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{x+z}+\frac{z^{2}}{y+x} \geq 504\sqrt{2}$
Áp dụng bđt $C-S$ , ta có
$\sum \frac{x^{2}}{y+z} \geq \sum \frac{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}}{x^{2}(y+z)+y^{2}(z+x)+z^{2}(x+y)}$
Áp dụng bđt quen thuộc : $2(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})\geq 3(x^{2}y+y^{2}x+y^{2}z+z^{2}y+z^{2}x+x^{2}z)$
$\rightarrow P\geq \frac{3(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{2(x+y+z)}$
Theo đề bài , ta dễ dàng tìm được Min của $x^{2}+y^{2}+z^{2}$, Max của x+y+z Từ đó suy ra $P \geq 504\sqrt{2}$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh rằng: $abc(a-1)(b-1)(c-1)\leq 8$Bắt đầu bởi kakachjmz, 27-04-2024 thcs, toán chuyên, hsg 9, bđt |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $P=\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$Bắt đầu bởi kakachjmz, 27-04-2024 tính biểu thức, toán chuyên và . |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Hình học →
Tìm vị trí 3 điểm $A;M;N$ sao cho $AM+AN$ $Min$Bắt đầu bởi kakachjmz, 26-04-2024 thcs, toán chuyên, hsg 9 và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\frac{19}{20} \leq \sum \frac{1}{1+a+b^2} \leq \frac{27}{20}$Bắt đầu bởi Duc3290, 12-03-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$\sum a^2b + abc +\frac{1}{2}abc(3-\sum ab) \leq 4$Bắt đầu bởi Duc3290, 25-02-2024 bất đẳng thức, hoán vị |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh