2 replies to this topic

[leminhansp]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $$P=\dfrac{1}{(2x+y)(2x+z)}+\dfrac{1}{(2y+x)(2y+z)}+\dfrac{1}{(2z+y)(2z+x)}$$

[MoMo123]

Cho $x,y,z>0$ thỏa mãn $xy+yz+zx=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau $$P=\dfrac{1}{(2x+y)(2x+z)}+\dfrac{1}{(2y+x)(2y+z)}+\dfrac{1}{(2z+y)(2z+x)}$$

Em có cách này không biết có đúng không
$\sum \frac{1}{(2x+y)(2x+z)}=\sum \frac{yz}{(2xz+yz)(2xy+yz)}\geq \sum \frac{4yz}{(2xy+2yz+2zx)^{2}}=\sum yz =1$

Bạn giỏi quá, đề nguyên mẫu là như này $P=\sum\dfrac{1}{4x^2-yz+2}$. Bạn có ý tưởng nào khác không?

Lậu lâu làm lại nó cho vui chứ nhỉ anh, một ý tưởng khác của em là dồn biến nhưng cũng không khác mấy cách ban đầu

$x=\frac{1-yz}{y+z}$

$\rightarrow \sum\frac{1}{4x^{2}-yz+2} =\sum \frac{1}{4.(\frac{1-yz}{y+z})^{2}-yz+2}\geq\sum\frac{1}{\frac{(1-yz)^{2}}{yz}-yz+2}=\sum yz=1$

Edited by MoMo123, 18-11-2017 - 13:17.

[leminhansp]

Em có cách này không biết có đúng không 

$\sum \frac{1}{(2x+y)(2y+z)}=\sum \frac{yz}{(2xz+yz)(2xy+yz)}\geq \sum  \frac{4yz}{(2xy+2yz+2zx)^{2}}=\sum yz =1$

 

Bạn giỏi quá, đề nguyên mẫu là như này $P=\sum\dfrac{1}{4x^2-yz+2}$. Bạn có ý tưởng nào khác không?