Chủ đề này có 9 trả lời

[liembinh83]

Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh Hưng Yên năm học 2017 - 2018

 

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi liembinh83: 03-03-2018 - 12:59

[HelpMeImDying]

1.a) $\sqrt{a+b}=\sqrt{a-2018}+\sqrt{b-2018}\Leftrightarrow a+b=a+b-2.2018+2\sqrt{(a-2018)(b-2018)}\Leftrightarrow 2018^{2}=ab-2018(a+b)+2018^{2}$

(đúng do $ab=2018(a+b)$)

2.a)$(1-\sqrt{1-x})\sqrt[3]{2-x}=x\Leftrightarrow x.\sqrt[3]{2-x}=x(1+\sqrt{1-x})\Leftrightarrow \sqrt[3]{2-x}= 1+\sqrt{1-x}\Leftrightarrow 2-x=(1-x)\sqrt{1-x}+3(1-x)+3\sqrt{1-x}+1$

Đặt $\sqrt{1-x}=a\Rightarrow a^{3}+3a^{2}+3a+1=1-a^{2}\Leftrightarrow ...$

3.b)$\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}= (\frac{yz}{x}+\frac{zx}{y})+(\frac{2yz}{x}+\frac{2xy}{z})+(\frac{3zx}{y}+\frac{3xy}{z})\geq 2z+4y+6x\geq 4\sqrt{xz}+8\sqrt{xy}=4$

[PhanThai0301]

Đề thi học sinh giỏi môn toán 9 tỉnh Hưng Yên năm học 2017 - 2018

                                                                           Lời giải câu nghiệm nguyên

             Pt đã cho tương đương với $(x-2018)^{2}=y(y-1)(y-2)(y-3)$.

                                                  <=> $(x-2018)^{2}=(y^{2}-3y)(y^{2}-3y+2)$.       (1)

             Đặt z = $y^{2}-3y$ thì (1) tương đương với $(x-2018)^{2}=z(z+2)=z^{2}+2z$.

                                                                          <=> $(x-2018)^{2}-(z+1)^{2}=-1$

                                                                                 .....

[PhanThai0301]

                                                                          Lời giải bài tổ

         Ta chia thành 2 nhóm. Nhóm 1 từ 1 đến 312, nhóm 2 từ 313 đến 625.

         Giả sử không có số chính phương nào trong 312 số chọn ra. 

         Giả sử ta chọn ra k số ở nhóm 1. Để ý rằng mỗi số ở nhóm 1 luôn tồn tại 1 số nhóm 2 sao cho tổng của chúng bằng 625 do đó ở nhóm 2 ta chỉ có thể chọn được thêm 312 - k số ( do đó tổng mỗi cặp không bằng 625 ).

         Do có 1 só 81 ở nhóm 1 và số 144 ở nhóm 2 có tổng là 125 nên ta lại mất đi 1 cách chọn 1 số ở nhóm 2.

         Vậy tóm lại là số cách chọn của nhóm 2 chỉ có thể  là 311 - k nên tổng số số của 2 nhóm là 311 - k +k =311 ( vô lí ).

         => đpcm.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 07-03-2018 - 11:19

[MoMo123]

Cách giải khác của bài tổ

Ta loại đi những số chính phương có trong dãy, ta sẽ chứng minh trong các số còn lại nếu chọn ra 311 số thì luôn tồn tại 2 số có tổng =625

Xét 311 số $a_{1};...a_{311}$ Không mất tính tổng quát giả sử $a_{1} >a_{2}>....>a_{311}>0$

Xét 1 dãy số tiếp theo là $0<625-a_{1}<625-a_{2}<...<625-a_{311}$

Nhận thấy 2 dãy trên có tổng số số hạng là 622

Mà các số hạng trên không nhận các giá trị $225;400;625;49;576$

Thật vậy , các số dãy 1 thì chắc chắn không thể rồi, nếu 1số nào đó ở dãy 2 nhận các giá trị trên 

Giả sử đó là$625-a_{i}$ chắc chắn không thể =625

Nếu $625-a_{i}=400 \Rightarrow a_{i}=225 =15^2 $ (mâu thuẫn )

Nếu $625-a_{i}=225 -> a_{i}= 20^2$ (mâu thuẫn)

Vậy 622 số trên chỉ nhận 621 giá trị -> Tồn tại 2 số $a_{i}; a_{j} $ có tổng =625 (mâu thuẫn)

-> ...

[liembinh83]

Bài hệ phương trình giải thế nào nhỉ?

[Ngoc Hung]

Xem đáp án tại ĐÂY

[binh barcelona]

ai gõ latex với

[Drago]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐẠO TẠO                                 KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH

              HƯNG YÊN                                                                       NĂM HỌC 2017-2018

             ---------------------                                                                 Môn thi: TOÁN

    ĐỀ CHÍNH THỨC                                              Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

                                                                                                --------------------------------------

Câu 1 (4 điểm)

 

 

        a) Cho hai số thực dương $a,b$ thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2018}$. Chứng minh rằng: $\sqrt{a+b}=\sqrt{a-2018}+\sqrt{b+2018}$

        b) Cho $a$ là nghiệm dương của phương trình $6x^2+\sqrt{3}x-\sqrt{3}=0$. Tính giá trị biểu thức $A=\frac{a+2}{\sqrt{a^{4}+a+2}-a^{2}}$

 

Câu 2 (4 điểm)

       

        a) Giải phương trình: $\left ( 1-\sqrt{1-x} \right )\sqrt[3]{2-x}=x$

        b) Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y) thỏa mãn:

                      $\left ( x-2018 \right )^2=y^4-6y^3+11y^2-6y$

 

Câu 3 (4 điểm)

 

        a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{2x+1}+\sqrt{2y+1}=\frac{(x-y)^2}{2}\\ (3x+2y)(y+1)=4-x^2 \end{matrix}\right.$

 

        b) Cho ba số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $2\sqrt{y}+\sqrt{z}=\frac{1}{\sqrt{x}}$. Chứng minh rằng: $\frac{3yz}{x}+\frac{4zx}{y}+\frac{5xy}{z}\ge4$

 

Câu 4 (6 điểm)

       

        Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $A$ cố định với $OA=2R$; đường kính $BC$ quay quanh $O$ sao cho tam giác $ABC$ là tam giác nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ cắt $OA$ tại điểm thứ hai là $I$. Các đường thẳng $AB,AC$ cắt $(O;R)$ lần lượt tại điểm thứ hai là $D$ và $E$. Gọi $K$ là giao điểm của $DE$ với $OA$.

        a) Chứng minh $AK.AI=AE.AC$

        b) Tính độ dài đoạn $AK$ theo $R$

        c) Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADE$ luôn thuộc một đường thẳng cố định.

 

Câu 5 (2 điểm)

    

        Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1;2;3;...;625 chọn ra 311 số sao cho không có hai số có tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cũng có một số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 14-03-2018 - 04:55

[Baoriven]

Câu 2: a)

Đặt $u^2=2x+1,v^2=2y+1$. 

Suy ra $8(u+v)=(u^2-v^2)^2\Rightarrow u=-v \text{ và } (u+v)(u^2-v^2)=8$.

$u=-v$ vô nghiệm vì $u,v\geq 0$.

Từ PT2, ta lại có: $u^4+3u^2v^2+u^2+2v^4-3v^2-20=0 \implies (u^2+v^2-4)(u^2+2v^2+ 5)=0$.

Suy ra: $u^2+v^2=4$ hay $x+y=1$.

Từ đây có thể giải ra $(x,y)=\bigg(\dfrac{3}{2},\dfrac{-1}{2}\bigg),\bigg(\dfrac{-1}{2},\dfrac{3}{2}\bigg)$.