Khuấy đảo topic lại nào
$\boxed{\text{Bài 125}}$ Cho a,b,c là các số thực dương
Chứng minh $$\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2c}{a+b} \geq 3+\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$$
$\boxed{\text{Bài 126}}$ Cho a,b,c là các số thực dương
Chứng minh $$\frac{2a^2+ab}{(a+b+\sqrt{ca})^2}+\frac{2b^2+bc}{(b+c+\sqrt{ab})^2}+\frac{2c^2+ca}{(c+a+\sqrt{bc})^2} \geq 1$$
$\boxed{\text{Bài 127}}$ Cho a,b,c là các số thực dương
Chứng minh rằng $$(1+\frac{a}{b})(1+\frac{b}{c})(1+\frac{c}{a}) \geq 2(1+\frac{a+b+c}{\sqrt[3]{abc}})$$
Mình xin đưa ra 1 lời giải khác của bài 127.
Đặt $x=\frac{a}{\sqrt[3]{abc}}$ $y=\frac{b}{\sqrt[3]{abc}}$ ; $z=\frac{c}{\sqrt[3]{abc}}$
$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{a}{b}$ ;$ \frac{y}{z}=\frac{b}{c}$; $\frac{z}{x} =\frac{c}{a}$ và xyz =1
Bất đẳng thức cần Chứng minh tương đương
$$(x+y)(y+z)(z+x) \geq 2(1+x+y+z)$$
Ta có: $$(x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx) -xyz =(x+y+z)(xy+yz+zx) -1$$
Tức ta cần chứng minh $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2) \geq 3(1)$$
Ta có $$x+y+z \geq 3\sqrt[3]{xyz}=1$$
$$xy+yz+zx \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=3$$ Nên (1) được chứng minh