2 replies to this topic

[use your brains]

Cho A=$2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}$. Chứng minh A chia hết cho n(n+1) với n là số nguyên dương.

Edited by use your brains, 12-05-2018 - 15:56.

[MoMo123]

Ta xét 2 TH sau 

TH1: n chẵn -> Ta có:

Áp dụng tính chất $a^n+b^n \vdots a+b$(với n lẻ, ta có)

$$n+1\mid 1^{2015}+n^{2015}$$

$$.......$$

$$ n+1\mid( \frac{n}{2})^{2015} +(\frac{n+2}{2})^{2015} $$

$$\Rightarrow A \vdots n+1$$

Ta cần chứng minh A $\vdots n$

Ta có $$A=2(1^{2015}+2^{2015}+....+(n-1)^{2015})+2n^{2015}$$

Vì$$n\mid ( 1^{2015} +(n-1)^{2015}$$

                ..............

   $$n\mid 2. ( \frac{n}{2})^{2015}=n.(\frac{n}{2})^{2014} $$

$$ \Rightarrow n \mid 2(1+2^{2015}+.....+(n-1)^{2015}) $$

$$\Rightarrow A \vdots n$$

Vì $(n;n+1)=1$$ \Rightarrow A \vdots n(n+1)$

Trường hợp n lẻ thì tương tự thôi

P/s: Kí hiệu $a\mid b$ nghĩa là a là ước của b

Edited by MoMo123, 12-05-2018 - 17:45.

[Tea Coffee]

Thực ra không cần xét $n$ chẵn lẻ vì có số $2$ phía trước rồi. Đây là một câu của chuyên Vĩnh Phúc năm nào đó.( Mình quên rồi)

Edited by Tea Coffee, 12-05-2018 - 20:46.