Cho $a,b,c,n \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $(a+bc)(b+ac)=13^n$. Chứng minh rằng $n \vdots 2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 30-06-2018 - 09:46
Cho $a,b,c,n \in \mathbb{N^*}$ thỏa mãn $(a+bc)(b+ac)=13^n$. Chứng minh rằng $n \vdots 2$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi NguyenHoaiTrung: 30-06-2018 - 09:46
$\left\{\begin{matrix} a+bc=13^x & & \\ b+ac=13^y& & \end{matrix}\right.$
Neu $x=y$ thi ta co dpcm
Ta se chung minh $x=y$ trong moi truong hop:
Gia su $x>y$ thi $b>a$:
$\Rightarrow 13^xa-a^2=13^y.b-b^2\Rightarrow (b-a)(b+a)=13^y(b-13^{x-y}a)$ $(1)$
Mat khac ta co: $\left\{\begin{matrix} (b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1) & & \\ (b+a)(c+1)=13^y(13^{x-y}+1) & & \end{matrix}\right.$
Neu $a,b$ deu chia het cho 13.
De cm $v_{13}(a)=v_{13}(b)=m$ khi do: $a=13^m.t$ va $b=13^m.s$ $((t,13)=(s,13)=1)$ suy ra: $\left\{\begin{matrix} t+sc=13^{n-m} & & \\ s+tc=13^{n-m} & & \end{matrix}\right.$
Khi do ta co bo moi la :$(t,s,n-m)$ va $13$ khong la uoc cua $t,s$
Do do khong mat tinh tong quat gia su $13$ khong la uoc cua $a,b$
Khi do trong 2 so $b-a$ va $b+a$ chi co mot so chia het cho 13 va trong 2 so $c-1$ va $c+1$ cung vay. Do do: $v_{13}(c-1)=y$ hoac $v_{13}(c+1)=y$
TH1: $v_{13}(c-1)=y$, i,e $c-1=13^y.s$ va $b+a=13^y.t$ suy ra $(b-a)s=13^{x-y}-1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b-a)t=b-13^{x-y}a$. Do do:$ t.(13^{x-y}-1)=s(b-13{x-y}a)$
suy ra $t+bs=13^{x-y}(t+as)$. Vi $(t+bs)-(t+as)$ khong chia het cho $13$ nen $t+as=1$ khi do:$t=1,s=0$ suy ra: $c=1$ hay $x=y$ (mau thuan voi gia su)
TH2: $v_{13}(c+1)=y$, i,e $c+1=13^y.k$ va $b-a=13^y.l$ suy ra $(b+a)k=13^{x-y}+1$. Theo $(1)$ suy ra: $(b+a)l=b-13^{x-y}a$. Do do: $l.(13^{x-y}+1)=k(b-13{x-y}a)$
suy ra $kb-l=13^{x-y}(l+ak)$. Vi $(kb-l)+(l+ak)$ khong chia het cho $13$ nen $l+ak=1$ khi do:$l=1,k=0$ suy ra: $c=-1$ (mau thuan voi gia thiet)
Vay trong moi TH ta co $x=y$ va co dpcm
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:34
Lâu lâu chơi bài này cho vui
Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$
Ta có:
$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$
$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$
Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên
TH1"
$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào )
TH2:
$b+a=13^y$
Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$
Vậy nên $2|n(Q.E.D)$
P/s: Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm
Tach ra 2 TH sai roi kia
Đừng lo lắng về khó khăn của bạn trong toán học, tôi đảm bảo với bạn rằng những khó khăn toán học của tôi còn gấp bội.
(Albert Einstein)
Visit my facebook: https://www.facebook.com/cao.simon.56
Tach ra 2 TH sai roi kia
Lâu lâu chơi bài này cho vui
Ta có : . Đặt $a+bc =13^{x}\,\,\,\, b+ac=13^y$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x \geq y$
Ta có:
$$(b-a)(c-1)=13^y(13^{x-y}-1)$$
$$(b+a)(c+1)=13^{y}(13^{x-y}+1)$$
Vì $c-1$ và $c+1$ không thể cùng đồng thời chia hết 13 cho nên
TH1"
$b-a=13^y$ $ \Rightarrow a(c+1)=0$ (Không thể nào )
TH2:
$b+a=13^y$
Từ đây suy ra $c=1$ hay $(a+b)^2=13^n$
Vậy nên $2|n(Q.E.D)$
P/s: Bài này không quan trọng con số 13 cho lắm
XÉT TRƯỜNG HỢP SAI RỒI ANH ƠI. DO TÍCH ( b-a )(c-1) chưa phải là một lũy thừa của 13 neen anh không thể đặt như vậy được
Lấy vd đơn giản nhất là khi b-a = 13^y . 2 là xong luôn
Đọc kĩ lại, nếu $c—1$ không chia hết 13 thì sẽ như vậy, vì 13 là 1 số nguyên tốXÉT TRƯỜNG HỢP SAI RỒI ANH ƠI. DO TÍCH ( b-a )(c-1) chưa phải là một lũy thừa của 13 neen anh không thể đặt như vậy được
Lấy vd đơn giản nhất là khi b-a = 13^y . 2 là xong luôn
Đọc kĩ lại, nếu $c—1$ không chia hết 13 thì sẽ như vậy, vì 13 là 1 số nguyên tố
Theo giả thiết của anh thì c-1 không chia hết cho 13 hoặc chia hết cho 13
+, Nếu c - 1 không chia hết cho 13. a-b vẫn có thể chứa một phần tử khác 13
+, nếu c-1 chia hết cho 13 thì vẫn thể
Chắc mình chưa giải thích kĩ cho bạn rồi, 2 trường hợp này thứ nhất là không đồng thời, thứ 2 là nếu$c-1$ chia hết 13 thì $a+b$ cũng sẽ chia hết 13Theo giả thiết của anh thì c-1 không chia hết cho 13 hoặc chia hết cho 13
+, Nếu c - 1 không chia hết cho 13. a-b vẫn có thể chứa một phần tử khác 13
+, nếu c-1 chia hết cho 13 thì vẫn thể
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:45
Chắc mình chưa giải thích kĩ cho bạn rồi, 2 trường hợp này thứ nhất là không đồng thời, thứ 2 là nếu$c-1$ chia hết 13 thì $a+b$ cũng sẽ chia hết 13
Ở đây mình xét 2 trường hợp là nếu $c-1$ chia hết 13, thì $c+1$ sẽ không chia hết 13 và lúc ấy $b+a$ sẽ chỉ có thể như vậy, trường hợp còn lại cũng tương tự, nếu bạn cho là bạn đúng, hãy lấy một phản ví dụ cho ình xem
NẾU ANH NÓI c+1 không chia hết cho 13 thi b+a chỉ có dạng như vậy là sai.
VD: Anh lấy c + 1 = 2 => rõ ràng b +a phải chia hết cho 2 ( do vp chia hết cho 4)
=> nó vẫn có chứa 2
$c+1 =2$ thì $c=1$ chứ saoNẾU ANH NÓI c+1 không chia hết cho 13 thi b+a chỉ có dạng như vậy là sai.
VD: Anh lấy c + 1 = 2 => rõ ràng b +a phải chia hết cho 2 ( do vp chia hết cho 4)
=> nó vẫn có chứa 2
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 08:48
$c+1 =2$ thì $c=1$ chứ sao
Hiện tại mình đang on bằng đt nên ko lên đc nữa, máy sắp sập nguồn , tối mình đánh lại
lấy c = 100 thử xem
Mình làm tạm nhé, th còn lại thì bạn tự xétlấy c = 100 thử xem
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MoMo123: 08-07-2018 - 10:02
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh